问题的提法

$$H_0: \theta \in \Theta_0 \leftrightarrow H_1:\theta \in \Theta_1$$

$H_0$：原假设，$H_1$：备择假设。

根据数据$\bm x=(x_1,\cdots,x_n)$，回答接受$H_0$或拒绝$H_0$。

检验方法：给出一个否定域$\mathcal W$，若$\bm x\in {\mathcal W}$则拒绝。不能根据数据选择否定域

功效函数：$\beta_{\mathcal W}(\theta)\triangleq P_\theta(\bm x\in \mathcal W)$

水平为$\alpha$：$\sup_{\theta\in \Theta_0}\beta_{\mathcal W}(\theta)\le \alpha$

一致最大功效否定域（UMP）：

1.$\mathcal W$ 水平为$\alpha$。
2.$\forall \tilde {\mathcal W}$，$\tilde {\mathcal W}$水平为$\alpha$，有

$$\beta_{\mathcal W}(\theta)\ge \beta_{\tilde {\mathcal W}}(\theta)\qquad \forall \theta\in \Theta_1$$

无偏否定域：

$$\beta_{\mathcal W}(\theta_0)\le \alpha\le \beta_{\mathcal W}(\theta_1)\qquad \forall \theta_0\in \Theta_0,\theta_1\in \Theta_1$$

这是说否定域的功效在$\Theta_1$上总是高于$\Theta_0$。

最优无偏否定域（UMPU）:

• $\mathcal W$水平为$\alpha$，且无偏。
• $\forall \tilde {\mathcal W}$，$\tilde {\mathcal W}$水平为$\alpha$，且$\tilde{\mathcal W}$无偏，有

$$\beta_{\mathcal W}(\theta_1)\ge \beta_{\tilde {\mathcal W}}(\theta_1)\qquad \forall \theta_1\in \Theta_1$$

可以认为是无偏否定域中的最大一致功效。

似然比检验

解决的问题：

$$H_0: \theta = \theta_0 \leftrightarrow H_1:\theta = \theta_1$$

即原假设和备择假设都只有一个参数。

似然函数：$L(\bm x,\theta)=\prod_{i=1}^n f(x_i,\theta)$

似然比：

$$\frac{L(\bm x,\theta_1)}{L(\bm x,\theta_0)}$$

于是就有一种基于似然比的否定域类：

$${\mathcal W}_{\lambda_0}=\{\bm x:L(\bm x,\theta_1)>\lambda_0 L(\bm x,\theta_0)\}$$

$\lambda_0$的取值由给定的水平$\alpha$确定，即

$$\beta_{\mathcal W}(\theta_0)=\int_{\mathcal W}L(\bm x,\theta_0)\mathrm{d}\bm x=\alpha$$

(Neyman-Pearson引理) ${\mathcal W}_{\lambda_0}$是水平为$\alpha$的UMP否定域。

证明思路：

$$\begin{gathered}
\int_{{\mathcal W}\setminus {\tilde{\mathcal W}}} L(\bm x,\theta_1)\mathrm{d} \bm x> \lambda_0 \int_{{\mathcal W}\setminus {\tilde{\mathcal W}}} L(\bm x,\theta_1) \mathrm{d} \bm x\\
\int_{{\tilde{\mathcal W}}\setminus {\mathcal W}} L(\bm x,\theta_1)\mathrm{d} \bm x\le \lambda_0 \int_{{\tilde{\mathcal W}}\setminus {\mathcal W}} L(\bm x,\theta_1)\mathrm{d} \bm x\\
\int_{{\mathcal W}\setminus {\tilde{\mathcal W}}} L(\bm x,\theta_1)\mathrm{d} \bm x=\int_{{\tilde{\mathcal W}}\setminus {\mathcal W}} L(\bm x,\theta_1)\mathrm{d} \bm x
\end{gathered}$$

${\mathcal W}_{\lambda_0}$是无偏否定域，从而也是UMPU否定域。

证明思路：

$$\begin{aligned}
\beta_{\mathcal W}(\theta_1)-\alpha &=\int_{\mathcal W} L(\bm x,\theta_1)\mathrm{d} \bm x -\alpha\\
&=(1-\alpha)\int_{\mathcal W}L(\bm x,\theta_1)\mathrm{d} \bm x-\alpha\int_{\mathcal W^c}L(\bm x,\theta_1)\mathrm{d} \bm x\\
&\ge \lambda_0(1-\alpha)\int_{\mathcal W}L(\bm x,\theta_0)\mathrm{d} \bm x-\lambda_0\alpha\int_{\mathcal W^c}L(\bm x,\theta_0)\mathrm{d} \bm x\\
&=0
\end{aligned}$$

单参数模型的检验

稍微复杂的问题：

$$H_0: \theta \in \Theta_0 \leftrightarrow H_1:\theta = \theta_1$$

$$H_0: \theta \in \Theta_0 \leftrightarrow H_1:\theta \in \Theta_1$$

即$\Theta_0,\Theta_1$不在是单点集。

不难验证，若否定域$\mathcal W$对任意的$\theta_0\in \Theta_0$都是UMP否定域，且不依赖于$\theta_1$，那么它也是这个问题的UMP否定域

单参数指数分布族

单参数指数分布族：

$$f(x,\theta)=S(\theta)h(x)\exp\{C(\theta)T(x)\},\qquad \theta \in \Theta$$

其中$\Theta$是一个区间，$C(\theta)$严格增。

对于否定域类

$${\mathcal W}=\{\bm x:\sum_{i=1}^n T(x_i)>c\}$$

其中$c$为任一常数，则$\beta_{\mathcal W}(\theta)$为$\theta$的不减函数。

证明思路：

设$\theta_1<\theta_2$，对于简单假设检验问题：

$$H_0: \theta =\theta_1 \leftrightarrow H_1:\theta =\theta_2$$

考虑似然比

$$\frac{L(\bm x,\theta_1)}{L(\bm x,\theta_2)}=\left[\frac{S(\theta_2)}{S(\theta_1)} \right]^n\exp\left\{[C(\theta_2)-C(\theta_1)]\sum_{i=1}^n T(x_i)\right\}$$

所以$\mathcal W$是该问题的一个似然比否定域，那么$\mathcal W$是无偏否定域，从而

$$\beta_{\mathcal W}(\theta_2)\ge \alpha\ge \beta_{\mathcal W}(\theta_1)$$

形象理解：$\theta$越大，$T(x)$的密度越向右偏移。

单边假设检验问题

$$H_0:\theta\le \theta_0 \leftrightarrow \theta>\theta_0$$

否定域类型：

$${\mathcal W}=\{\bm x:\sum_{i=1}^n T(x_i)>c\}$$

选取$c$使得$\beta_{\mathcal W}(\theta_0)=\alpha$，那么$\mathcal W$就是UMP否定域。

$\sigma^2$已知，检验$\mu$

$$H_0:\mu\le \mu_0 \leftrightarrow H_1:\mu >\mu_0$$

$$f(x,\mu)=S(\mu)h(x)e^{\frac{\mu}{\sigma^2}x}\implies T(x)=x$$

$${\mathcal W}=\{\bm x:\sum_{i=1}^n x_i>c\}$$

需要验证在$H_0$的情况下，$\beta_{\mathcal W}(\mu)\le \beta_{\mathcal W}(\mu_0)$（即最值通常在边界取到，后续问题省略此步骤）。

$$\beta_{\mathcal W}(\mu_0)=P_{\mu_0}\left(\sqrt n\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma}>\tilde c\right)=P(Z>\tilde c)=\alpha$$

查表确定$\tilde c$，代入数据计算即可。

$\mu$已知，检验$\sigma^2$

$$H_0:\sigma^2\le \sigma_0^2 \leftrightarrow H_1:\sigma^2 >\sigma_0^2$$

$$f(x,\sigma^2)=\frac{1}{\sqrt {2\pi\sigma^2}}\exp\{\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\}\implies T(x)=(x-\mu)^2$$

$${\mathcal W}=\{\bm x:\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2>c\}$$

$$\beta_{\mathcal W}(\sigma_0^2)=P_{\sigma_0^2}\left(\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma_0}\right)^2< \tilde c\right)=P(K_n<\tilde c)=\alpha$$

查表确定$\tilde c$，代入数据计算即可。

双边假设检验问题

$$H_0:\theta=\theta_0\leftrightarrow H_1:\theta\neq\theta_0$$

双面假设检验问题不存在UMP否定域（无法兼顾两边）。

但有可能存在UMPU否定域。

若当$\theta=\theta_0$时，$\frac 1n\sum_{i=1}^nT(X_i)$的分布关于某个$r_0$对称，则

$${\mathcal W}=\left\{\bm x:\left|\sum_{i=1}^nT(x_i)-r_0\right|>c\right\}$$

是UMPU否定域

证明略。

$\sigma^2$已知，检验$\mu$

$$H_0:\mu=\mu_0\leftrightarrow H_1:\mu\neq\mu_0$$

$$T(x)=x,r_0=\mu_0$$

$${\mathcal W}=\left\{\bm x:\left|\sum_{i=1}^nx_i-n\mu_0\right|>c\right\}$$

$$\beta_{\mathcal W}(\mu_0)=P_{\mu_0}(\sqrt{n}\frac{|\bar x-\mu_0|}{\sigma}>c)=P(|Z|>c)=\alpha$$

广义似然比检验

$$H_0:\theta\in \Theta_0\leftrightarrow H_1:\theta\in \Theta_1$$

广义似然比：

$$\frac{L(\bm x,\hat\theta)}{L(\bm x,\hat \theta_0)}$$

其中$L(\bm x,\hat\theta_0)=\max_{\theta\in \Theta_0}L(\bm x,\theta)$，$L(\bm x,\hat\theta)=\max_{\theta\in \Theta}L(\bm x,\theta)$，注意后者是在全局上求的最值。

基于广义似然比的否定域

$${\mathcal W}=\{\bm x:\lambda(\bm x)=\frac{L(\bm x,\hat\theta)}{L(\bm x,\hat \theta_0)}>c\}$$

$\sigma^2$已知，检验$\mu$，双边

$$H_0:\mu=\mu_0\leftrightarrow H_1:\mu\neq\mu_0$$

最大似然估计：

$$\hat \mu=\bar x,\hat \mu_0=\mu_0$$

广义似然比：

$$\lambda(\bm x)=\frac{L(\bm x,\hat \mu)}{L(\bm x,\hat \mu_0)}=\exp\left\{\frac{1}{2\sigma^2}\left(\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_0)^2-\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2\right)\right\}$$

$${\mathcal W}=\{\bm x:\lambda(\bm x)>c\}=\{\bm x:|\bar x-\mu_0|>c\}$$

$$\beta_{\mathcal W}(\mu_0)=P_{\mu_0}(\sqrt{n}\frac{|\bar x-\mu_0|}{\sigma}>c)=P(|Z|>c)=\alpha$$

$\sigma^2$已知，检验$\mu$，单边

$$H_0:\mu\le \mu_0 \leftrightarrow H_1:\mu >\mu_0$$

最大似然估计：

$$\hat \mu=\bar x,\hat \mu_0=\mu_0(\bar x>\mu_0)$$

广义似然比：

$$\lambda(\bm x)=\exp\left(\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt n(\bar x-\mu_0)}{\sigma}\right)^2\right)$$

$${\mathcal W}=\{\bm x:\frac{\sqrt n(\bar x-\mu_0)}{\sigma}>c\}$$

$$\max_{\mu\le \mu_0}\beta_{\mathcal W}(\mu)=P_{\mu_0}(\frac{\sqrt n(\bar x-\mu_0)}{\sigma}>c)=P(Z>c)=\alpha$$

$\sigma^2$未知，检验$\mu$，双边

$$H_0:\mu=\mu_0\leftrightarrow H_1:\mu\neq\mu_0$$

计算可得

$$L(\hat \mu,\hat \sigma^2)=(2\pi\hat \sigma^2)^{-n/2}e^{-n/2}，L(\hat \mu_0,\hat \sigma_0^2)=(2\pi\hat \sigma_0^2)^{-n/2}e^{-n/2}$$

orz写不完了5555

UPD: 果不其然，期末考试翻在了没写完的地方