问题的提法
$$H\_0: \\theta \\in \\Theta\_0 \\leftrightarrow H\_1:\\theta \\in \\Theta\_1$$$H_0$：原假设，$H_1$：备择假设。
根据数据$\bm x=(x_1,\cdots,x_n)$，回答接受$H_0$或拒绝$H_0$。
检验方法：给出一个否定域$\mathcal W$，若$\bm x\in {\mathcal W}$则拒绝。不能根据数据选择否定域
功效函数：$\beta_{\mathcal W}(\theta)\triangleq P_\theta(\bm x\in \mathcal W)$
水平为$\alpha$：$\sup_{\theta\in \Theta_0}\beta_{\mathcal W}(\theta)\le \alpha$
一致最大功效否定域（UMP）：
1.$\mathcal W$ 水平为$\alpha$。 2.$\forall \tilde {\mathcal W}$，$\tilde {\mathcal W}$水平为$\alpha$，有
$$\\beta\_{\\mathcal W}(\\theta)\\ge \\beta\_{\\tilde {\\mathcal W}}(\\theta)\\qquad \\forall \\theta\\in \\Theta\_1$$无偏否定域：
$$\\beta\_{\\mathcal W}(\\theta\_0)\\le \\alpha\\le \\beta\_{\\mathcal W}(\\theta\_1)\\qquad \\forall \\theta\_0\\in \\Theta\_0,\\theta\_1\\in \\Theta\_1$$这是说否定域的功效在$\Theta_1$上总是高于$\Theta_0$。
最优无偏否定域（UMPU）:
- $\mathcal W$水平为$\alpha$，且无偏。
- $\forall \tilde {\mathcal W}$，$\tilde {\mathcal W}$水平为$\alpha$，且$\tilde{\mathcal W}$无偏，有
可以认为是无偏否定域中的最大一致功效。
似然比检验
解决的问题：
$$H\_0: \\theta = \\theta\_0 \\leftrightarrow H\_1:\\theta = \\theta\_1$$即原假设和备择假设都只有一个参数。
似然函数：$L(\bm x,\theta)=\prod_{i=1}^n f(x_i,\theta)$
似然比：
$$\\frac{L(\\bm x,\\theta\_1)}{L(\\bm x,\\theta\_0)}$$于是就有一种基于似然比的否定域类：
$${\\mathcal W}\_{\\lambda\_0}=\\{\\bm x:L(\\bm x,\\theta\_1)>\\lambda\_0 L(\\bm x,\\theta\_0)\\}$$$\lambda_0$的取值由给定的水平$\alpha$确定，即
$$\\beta\_{\\mathcal W}(\\theta\_0)=\\int\_{\\mathcal W}L(\\bm x,\\theta\_0)\\mathrm{d}\\bm x=\\alpha$$(Neyman-Pearson引理) ${\mathcal W}_{\lambda_0}$是水平为$\alpha$的UMP否定域。
证明思路：
$$\\begin{gathered} \\int\_{{\\mathcal W}\\setminus {\\tilde{\\mathcal W}}} L(\\bm x,\\theta\_1)\\mathrm{d} \\bm x> \\lambda\_0 \\int\_{{\\mathcal W}\\setminus {\\tilde{\\mathcal W}}} L(\\bm x,\\theta\_1) \\mathrm{d} \\bm x\\\\ \\int\_{{\\tilde{\\mathcal W}}\\setminus {\\mathcal W}} L(\\bm x,\\theta\_1)\\mathrm{d} \\bm x\\le \\lambda\_0 \\int\_{{\\tilde{\\mathcal W}}\\setminus {\\mathcal W}} L(\\bm x,\\theta\_1)\\mathrm{d} \\bm x\\\\ \\int\_{{\\mathcal W}\\setminus {\\tilde{\\mathcal W}}} L(\\bm x,\\theta\_1)\\mathrm{d} \\bm x=\\int\_{{\\tilde{\\mathcal W}}\\setminus {\\mathcal W}} L(\\bm x,\\theta\_1)\\mathrm{d} \\bm x \\end{gathered}$$${\mathcal W}_{\lambda_0}$是无偏否定域，从而也是UMPU否定域。
证明思路：
$$\\begin{aligned} \\beta\_{\\mathcal W}(\\theta\_1)-\\alpha &=\\int\_{\\mathcal W} L(\\bm x,\\theta\_1)\\mathrm{d} \\bm x -\\alpha\\\\ &=(1-\\alpha)\\int\_{\\mathcal W}L(\\bm x,\\theta\_1)\\mathrm{d} \\bm x-\\alpha\\int\_{\\mathcal W^c}L(\\bm x,\\theta\_1)\\mathrm{d} \\bm x\\\\ &\\ge \\lambda\_0(1-\\alpha)\\int\_{\\mathcal W}L(\\bm x,\\theta\_0)\\mathrm{d} \\bm x-\\lambda\_0\\alpha\\int\_{\\mathcal W^c}L(\\bm x,\\theta\_0)\\mathrm{d} \\bm x\\\\ &=0 \\end{aligned}$$单参数模型的检验
稍微复杂的问题：
$$H\_0: \\theta \\in \\Theta\_0 \\leftrightarrow H\_1:\\theta = \\theta\_1$$$$H\_0: \\theta \\in \\Theta\_0 \\leftrightarrow H\_1:\\theta \\in \\Theta\_1$$即$\Theta_0,\Theta_1$不在是单点集。
不难验证，若否定域$\mathcal W$对任意的$\theta_0\in \Theta_0$都是UMP否定域，且不依赖于$\theta_1$，那么它也是这个问题的UMP否定域
单参数指数分布族
单参数指数分布族：
$$f(x,\\theta)=S(\\theta)h(x)\\exp\\{C(\\theta)T(x)\\},\\qquad \\theta \\in \\Theta$$其中$\Theta$是一个区间，$C(\theta)$严格增。
对于否定域类
$${\\mathcal W}=\\{\\bm x:\\sum\_{i=1}^n T(x\_i)>c\\}$$其中$c$为任一常数，则$\beta_{\mathcal W}(\theta)$为$\theta$的不减函数。
证明思路：
设$\theta_1<\theta_2$，对于简单假设检验问题：
$$H\_0: \\theta =\\theta\_1 \\leftrightarrow H\_1:\\theta =\\theta\_2$$考虑似然比
$$\\frac{L(\\bm x,\\theta\_1)}{L(\\bm x,\\theta\_2)}=\\left\[\\frac{S(\\theta\_2)}{S(\\theta\_1)} \\right\]^n\\exp\\left\\{\[C(\\theta\_2)-C(\\theta\_1)\]\\sum\_{i=1}^n T(x\_i)\\right\\}$$所以$\mathcal W$是该问题的一个似然比否定域，那么$\mathcal W$是无偏否定域，从而
$$\\beta\_{\\mathcal W}(\\theta\_2)\\ge \\alpha\\ge \\beta\_{\\mathcal W}(\\theta\_1)$$形象理解：$\theta$越大，$T(x)$的密度越向右偏移。
单边假设检验问题
$$H\_0:\\theta\\le \\theta\_0 \\leftrightarrow \\theta>\\theta\_0$$否定域类型：
$${\\mathcal W}=\\{\\bm x:\\sum\_{i=1}^n T(x\_i)>c\\}$$选取$c$使得$\beta_{\mathcal W}(\theta_0)=\alpha$，那么$\mathcal W$就是UMP否定域。
$\sigma^2$已知，检验$\mu$
$$H\_0:\\mu\\le \\mu\_0 \\leftrightarrow H\_1:\\mu >\\mu\_0$$$$f(x,\\mu)=S(\\mu)h(x)e^{\\frac{\\mu}{\\sigma^2}x}\\implies T(x)=x$$$${\\mathcal W}=\\{\\bm x:\\sum\_{i=1}^n x\_i>c\\}$$需要验证在$H_0$的情况下，$\beta_{\mathcal W}(\mu)\le \beta_{\mathcal W}(\mu_0)$（即最值通常在边界取到，后续问题省略此步骤）。
$$\\beta\_{\\mathcal W}(\\mu\_0)=P\_{\\mu\_0}\\left(\\sqrt n\\frac{\\bar X-\\mu\_0}{\\sigma}>\\tilde c\\right)=P(Z>\\tilde c)=\\alpha$$查表确定$\tilde c$，代入数据计算即可。
$\mu$已知，检验$\sigma^2$
$$H\_0:\\sigma^2\\le \\sigma\_0^2 \\leftrightarrow H\_1:\\sigma^2 >\\sigma\_0^2$$$$f(x,\\sigma^2)=\\frac{1}{\\sqrt {2\\pi\\sigma^2}}\\exp\\{\\frac{1}{2\\sigma^2}(x-\\mu)^2\\}\\implies T(x)=(x-\\mu)^2$$$${\\mathcal W}=\\{\\bm x:\\sum\_{i=1}^n (x\_i-\\mu)^2>c\\}$$$$\\beta\_{\\mathcal W}(\\sigma\_0^2)=P\_{\\sigma\_0^2}\\left(\\sum\_{i=1}^n\\left(\\frac{X\_i-\\mu}{\\sigma\_0}\\right)^2< \\tilde c\\right)=P(K\_n<\\tilde c)=\\alpha$$查表确定$\tilde c$，代入数据计算即可。
双边假设检验问题
$$H\_0:\\theta=\\theta\_0\\leftrightarrow H\_1:\\theta\\neq\\theta\_0$$双面假设检验问题不存在UMP否定域（无法兼顾两边）。
但有可能存在UMPU否定域。
若当$\theta=\theta_0$时，$\frac 1n\sum_{i=1}^nT(X_i)$的分布关于某个$r_0$对称，则
$${\\mathcal W}=\\left\\{\\bm x:\\left|\\sum\_{i=1}^nT(x\_i)-r\_0\\right|>c\\right\\}$$是UMPU否定域
证明略。
$\sigma^2$已知，检验$\mu$
$$H\_0:\\mu=\\mu\_0\\leftrightarrow H\_1:\\mu\\neq\\mu\_0$$$$T(x)=x,r\_0=\\mu\_0$$$${\\mathcal W}=\\left\\{\\bm x:\\left|\\sum\_{i=1}^nx\_i-n\\mu\_0\\right|>c\\right\\}$$$$\\beta\_{\\mathcal W}(\\mu\_0)=P\_{\\mu\_0}(\\sqrt{n}\\frac{|\\bar x-\\mu\_0|}{\\sigma}>c)=P(|Z|>c)=\\alpha$$广义似然比检验
$$H\_0:\\theta\\in \\Theta\_0\\leftrightarrow H\_1:\\theta\\in \\Theta\_1$$广义似然比：
$$\\frac{L(\\bm x,\\hat\\theta)}{L(\\bm x,\\hat \\theta\_0)}$$其中$L(\bm x,\hat\theta_0)=\max_{\theta\in \Theta_0}L(\bm x,\theta)$，$L(\bm x,\hat\theta)=\max_{\theta\in \Theta}L(\bm x,\theta)$，注意后者是在全局上求的最值。
基于广义似然比的否定域
$${\\mathcal W}=\\{\\bm x:\\lambda(\\bm x)=\\frac{L(\\bm x,\\hat\\theta)}{L(\\bm x,\\hat \\theta\_0)}>c\\}$$$\sigma^2$已知，检验$\mu$，双边
$$H\_0:\\mu=\\mu\_0\\leftrightarrow H\_1:\\mu\\neq\\mu\_0$$最大似然估计：
$$\\hat \\mu=\\bar x,\\hat \\mu\_0=\\mu\_0$$广义似然比：
$$\\lambda(\\bm x)=\\frac{L(\\bm x,\\hat \\mu)}{L(\\bm x,\\hat \\mu\_0)}=\\exp\\left\\{\\frac{1}{2\\sigma^2}\\left(\\sum\_{i=1}^n(x\_i-\\mu\_0)^2-\\sum\_{i=1}^n(x\_i-\\bar x)^2\\right)\\right\\}$$$${\\mathcal W}=\\{\\bm x:\\lambda(\\bm x)>c\\}=\\{\\bm x:|\\bar x-\\mu\_0|>c\\}$$$$\\beta\_{\\mathcal W}(\\mu\_0)=P\_{\\mu\_0}(\\sqrt{n}\\frac{|\\bar x-\\mu\_0|}{\\sigma}>c)=P(|Z|>c)=\\alpha$$$\sigma^2$已知，检验$\mu$，单边
$$H\_0:\\mu\\le \\mu\_0 \\leftrightarrow H\_1:\\mu >\\mu\_0$$最大似然估计：
$$\\hat \\mu=\\bar x,\\hat \\mu\_0=\\mu\_0(\\bar x>\\mu\_0)$$广义似然比：
$$\\lambda(\\bm x)=\\exp\\left(\\frac{1}{2}\\left(\\frac{\\sqrt n(\\bar x-\\mu\_0)}{\\sigma}\\right)^2\\right)$$$${\\mathcal W}=\\{\\bm x:\\frac{\\sqrt n(\\bar x-\\mu\_0)}{\\sigma}>c\\}$$$$\\max\_{\\mu\\le \\mu\_0}\\beta\_{\\mathcal W}(\\mu)=P\_{\\mu\_0}(\\frac{\\sqrt n(\\bar x-\\mu\_0)}{\\sigma}>c)=P(Z>c)=\\alpha$$$\sigma^2$未知，检验$\mu$，双边
$$H\_0:\\mu=\\mu\_0\\leftrightarrow H\_1:\\mu\\neq\\mu\_0$$计算可得
$$L(\\hat \\mu,\\hat \\sigma^2)=(2\\pi\\hat \\sigma^2)^{-n/2}e^{-n/2}，L(\\hat \\mu\_0,\\hat \\sigma\_0^2)=(2\\pi\\hat \\sigma\_0^2)^{-n/2}e^{-n/2}$$orz写不完了5555
UPD: 果不其然，期末考试翻在了没写完的地方