问题的提法

H_0: \theta \in \Theta_0 \leftrightarrow H_1:\theta \in \Theta_1

H_0：原假设，H_1：备择假设。

根据数据\bm x=(x_1,\cdots,x_n)，回答接受H_0或拒绝H_0。

检验方法：给出一个否定域\mathcal W，若\bm x\in {\mathcal W}则拒绝。不能根据数据选择否定域

功效函数：\beta_{\mathcal W}(\theta)\triangleq P_\theta(\bm x\in \mathcal W)

水平为\alpha：\sup_{\theta\in \Theta_0}\beta_{\mathcal W}(\theta)\le \alpha

一致最大功效否定域（UMP）：

1.\mathcal W 水平为\alpha。
2.\forall \tilde {\mathcal W}，\tilde {\mathcal W}水平为\alpha，有

\beta_{\mathcal W}(\theta)\ge \beta_{\tilde {\mathcal W}}(\theta)\qquad \forall \theta\in \Theta_1

无偏否定域：

\beta_{\mathcal W}(\theta_0)\le \alpha\le \beta_{\mathcal W}(\theta_1)\qquad \forall \theta_0\in \Theta_0,\theta_1\in \Theta_1

这是说否定域的功效在\Theta_1上总是高于\Theta_0。

最优无偏否定域（UMPU）:

• $\mathcal W$水平为$\alpha$，且无偏。
• $\forall \tilde {\mathcal W}$，$\tilde {\mathcal W}$水平为$\alpha$，且$\tilde{\mathcal W}$无偏，有

\beta_{\mathcal W}(\theta_1)\ge \beta_{\tilde {\mathcal W}}(\theta_1)\qquad \forall \theta_1\in \Theta_1

可以认为是无偏否定域中的最大一致功效。

似然比检验

解决的问题：

H_0: \theta = \theta_0 \leftrightarrow H_1:\theta = \theta_1

即原假设和备择假设都只有一个参数。

似然函数：L(\bm x,\theta)=\prod_{i=1}^n f(x_i,\theta)

似然比：

\frac{L(\bm x,\theta_1)}{L(\bm x,\theta_0)}

于是就有一种基于似然比的否定域类：

{\mathcal W}_{\lambda_0}=\{\bm x:L(\bm x,\theta_1)>\lambda_0 L(\bm x,\theta_0)\}

\lambda_0的取值由给定的水平\alpha确定，即

\beta_{\mathcal W}(\theta_0)=\int_{\mathcal W}L(\bm x,\theta_0)\mathrm{d}\bm x=\alpha

(Neyman-Pearson引理) {\mathcal W}_{\lambda_0}是水平为\alpha的UMP否定域。

证明思路：

\begin{gathered}
\int_{{\mathcal W}\setminus {\tilde{\mathcal W}}} L(\bm x,\theta_1)\mathrm{d} \bm x> \lambda_0 \int_{{\mathcal W}\setminus {\tilde{\mathcal W}}} L(\bm x,\theta_1) \mathrm{d} \bm x\\
\int_{{\tilde{\mathcal W}}\setminus {\mathcal W}} L(\bm x,\theta_1)\mathrm{d} \bm x\le \lambda_0 \int_{{\tilde{\mathcal W}}\setminus {\mathcal W}} L(\bm x,\theta_1)\mathrm{d} \bm x\\
\int_{{\mathcal W}\setminus {\tilde{\mathcal W}}} L(\bm x,\theta_1)\mathrm{d} \bm x=\int_{{\tilde{\mathcal W}}\setminus {\mathcal W}} L(\bm x,\theta_1)\mathrm{d} \bm x
\end{gathered}

{\mathcal W}_{\lambda_0}是无偏否定域，从而也是UMPU否定域。

证明思路：

\begin{aligned}
\beta_{\mathcal W}(\theta_1)-\alpha &=\int_{\mathcal W} L(\bm x,\theta_1)\mathrm{d} \bm x -\alpha\\
&=(1-\alpha)\int_{\mathcal W}L(\bm x,\theta_1)\mathrm{d} \bm x-\alpha\int_{\mathcal W^c}L(\bm x,\theta_1)\mathrm{d} \bm x\\
&\ge \lambda_0(1-\alpha)\int_{\mathcal W}L(\bm x,\theta_0)\mathrm{d} \bm x-\lambda_0\alpha\int_{\mathcal W^c}L(\bm x,\theta_0)\mathrm{d} \bm x\\
&=0
\end{aligned}

单参数模型的检验

稍微复杂的问题：

H_0: \theta \in \Theta_0 \leftrightarrow H_1:\theta = \theta_1

H_0: \theta \in \Theta_0 \leftrightarrow H_1:\theta \in \Theta_1

即\Theta_0,\Theta_1不在是单点集。

不难验证，若否定域\mathcal W对任意的\theta_0\in \Theta_0都是UMP否定域，且不依赖于\theta_1，那么它也是这个问题的UMP否定域

单参数指数分布族

单参数指数分布族：

f(x,\theta)=S(\theta)h(x)\exp\{C(\theta)T(x)\},\qquad \theta \in \Theta

其中\Theta是一个区间，C(\theta)严格增。

对于否定域类

{\mathcal W}=\{\bm x:\sum_{i=1}^n T(x_i)>c\}

其中c为任一常数，则\beta_{\mathcal W}(\theta)为\theta的不减函数。

证明思路：

设\theta_1<\theta_2，对于简单假设检验问题：

H_0: \theta =\theta_1 \leftrightarrow H_1:\theta =\theta_2

考虑似然比

\frac{L(\bm x,\theta_1)}{L(\bm x,\theta_2)}=\left[\frac{S(\theta_2)}{S(\theta_1)} \right]^n\exp\left\{[C(\theta_2)-C(\theta_1)]\sum_{i=1}^n T(x_i)\right\}

所以\mathcal W是该问题的一个似然比否定域，那么\mathcal W是无偏否定域，从而

\beta_{\mathcal W}(\theta_2)\ge \alpha\ge \beta_{\mathcal W}(\theta_1)

形象理解：\theta越大，T(x)的密度越向右偏移。

单边假设检验问题

H_0:\theta\le \theta_0 \leftrightarrow \theta>\theta_0

否定域类型：

{\mathcal W}=\{\bm x:\sum_{i=1}^n T(x_i)>c\}

选取c使得\beta_{\mathcal W}(\theta_0)=\alpha，那么\mathcal W就是UMP否定域。

$\sigma^2$已知，检验$\mu$

H_0:\mu\le \mu_0 \leftrightarrow H_1:\mu >\mu_0

f(x,\mu)=S(\mu)h(x)e^{\frac{\mu}{\sigma^2}x}\implies T(x)=x

{\mathcal W}=\{\bm x:\sum_{i=1}^n x_i>c\}

需要验证在H_0的情况下，\beta_{\mathcal W}(\mu)\le \beta_{\mathcal W}(\mu_0)（即最值通常在边界取到，后续问题省略此步骤）。

\beta_{\mathcal W}(\mu_0)=P_{\mu_0}\left(\sqrt n\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma}>\tilde c\right)=P(Z>\tilde c)=\alpha

查表确定\tilde c，代入数据计算即可。

$\mu$已知，检验$\sigma^2$

H_0:\sigma^2\le \sigma_0^2 \leftrightarrow H_1:\sigma^2 >\sigma_0^2

f(x,\sigma^2)=\frac{1}{\sqrt {2\pi\sigma^2}}\exp\{\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\}\implies T(x)=(x-\mu)^2

{\mathcal W}=\{\bm x:\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2>c\}

\beta_{\mathcal W}(\sigma_0^2)=P_{\sigma_0^2}\left(\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma_0}\right)^2< \tilde c\right)=P(K_n<\tilde c)=\alpha

查表确定\tilde c，代入数据计算即可。

双边假设检验问题

H_0:\theta=\theta_0\leftrightarrow H_1:\theta\neq\theta_0

双面假设检验问题不存在UMP否定域（无法兼顾两边）。

但有可能存在UMPU否定域。

若当\theta=\theta_0时，\frac 1n\sum_{i=1}^nT(X_i)的分布关于某个r_0对称，则

{\mathcal W}=\left\{\bm x:\left|\sum_{i=1}^nT(x_i)-r_0\right|>c\right\}

是UMPU否定域

证明略。

$\sigma^2$已知，检验$\mu$

H_0:\mu=\mu_0\leftrightarrow H_1:\mu\neq\mu_0

T(x)=x,r_0=\mu_0

{\mathcal W}=\left\{\bm x:\left|\sum_{i=1}^nx_i-n\mu_0\right|>c\right\}

\beta_{\mathcal W}(\mu_0)=P_{\mu_0}(\sqrt{n}\frac{|\bar x-\mu_0|}{\sigma}>c)=P(|Z|>c)=\alpha

广义似然比检验

H_0:\theta\in \Theta_0\leftrightarrow H_1:\theta\in \Theta_1

广义似然比：

\frac{L(\bm x,\hat\theta)}{L(\bm x,\hat \theta_0)}

其中L(\bm x,\hat\theta_0)=\max_{\theta\in \Theta_0}L(\bm x,\theta)，L(\bm x,\hat\theta)=\max_{\theta\in \Theta}L(\bm x,\theta)，注意后者是在全局上求的最值。

基于广义似然比的否定域

{\mathcal W}=\{\bm x:\lambda(\bm x)=\frac{L(\bm x,\hat\theta)}{L(\bm x,\hat \theta_0)}>c\}

$\sigma^2$已知，检验$\mu$，双边

H_0:\mu=\mu_0\leftrightarrow H_1:\mu\neq\mu_0

最大似然估计：

\hat \mu=\bar x,\hat \mu_0=\mu_0

广义似然比：

\lambda(\bm x)=\frac{L(\bm x,\hat \mu)}{L(\bm x,\hat \mu_0)}=\exp\left\{\frac{1}{2\sigma^2}\left(\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_0)^2-\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2\right)\right\}

{\mathcal W}=\{\bm x:\lambda(\bm x)>c\}=\{\bm x:|\bar x-\mu_0|>c\}

\beta_{\mathcal W}(\mu_0)=P_{\mu_0}(\sqrt{n}\frac{|\bar x-\mu_0|}{\sigma}>c)=P(|Z|>c)=\alpha

$\sigma^2$已知，检验$\mu$，单边

H_0:\mu\le \mu_0 \leftrightarrow H_1:\mu >\mu_0

最大似然估计：

\hat \mu=\bar x,\hat \mu_0=\mu_0(\bar x>\mu_0)

广义似然比：

\lambda(\bm x)=\exp\left(\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt n(\bar x-\mu_0)}{\sigma}\right)^2\right)

{\mathcal W}=\{\bm x:\frac{\sqrt n(\bar x-\mu_0)}{\sigma}>c\}

\max_{\mu\le \mu_0}\beta_{\mathcal W}(\mu)=P_{\mu_0}(\frac{\sqrt n(\bar x-\mu_0)}{\sigma}>c)=P(Z>c)=\alpha

$\sigma^2$未知，检验$\mu$，双边

H_0:\mu=\mu_0\leftrightarrow H_1:\mu\neq\mu_0

计算可得

L(\hat \mu,\hat \sigma^2)=(2\pi\hat \sigma^2)^{-n/2}e^{-n/2}，L(\hat \mu_0,\hat \sigma_0^2)=(2\pi\hat \sigma_0^2)^{-n/2}e^{-n/2}

orz写不完了5555

UPD: 果不其然，期末考试翻在了没写完的地方