对偶空间

线性映射与同态空间

线性映射又称同态。用$Hom_{\mathbf F}(U,V)$表示$U$到$V$同态的集合。

当$V$是一维时，称之为线性函数。

容易看出$Hom(U,V)$是一个线性空间。

同态空间与矩阵空间的同构：$\sigma:U\to V$为线性映射，取定$U$的一组基$\bm \varepsilon_1,\bm \varepsilon_2,\cdots,\bm \varepsilon_{,n}$和$V$的一组基$\bm \eta_1,\bm \eta_2,\cdots,\bm \eta_{,m}$，那么存在关系：

$$\sigma(\bm \varepsilon_1,\bm \varepsilon_2,\cdots,\bm \varepsilon_{,n})=(\bm \eta_1,\bm \eta_2,\cdots,\bm \eta_{,n})\bm A$$

即$Hom_{\bf F}(U,V)\cong M_{m\times n}(\bf F)$。

对偶空间

$V$是$\bf F$上一$n$维线性空间，称$V$上所有线性函数构成的空间$V^{*}=Hom_{\bf F}(V,\bf F)$为$V$的 对偶空间。

线性函数可以由其在一组基上的取值确定：

$$\bm \alpha=x_1\bm \varepsilon_1+\cdots+x_n\bm \varepsilon_n$$

那么对任意$f\in V^* $，

$$f(\bm \alpha)=x_1f(\bm \varepsilon_1)+\cdots+x_nf(\bm \varepsilon_n)$$

对偶空间元素的向量表示

设$\bm \alpha_1,\cdots,\bm \alpha_n$是$V$的一组基，则映射

$$\begin{aligned}
\sigma: V^* & \to \mathbf {F}^n\\
f&\mapsto (f(\bm \alpha_1),\cdots,f(\bm \alpha_n))
\end{aligned}$$是线性同构。

$\sigma$既是单射又是满射，只需验证其线性性。

对偶基

设$\mathbf F^n$的标准基为$\bm e_1,\cdots,\bm e_n$，在上述同构映射$\sigma$下考虑它们的原像$f_1,\cdots,f_n$，$f_i$满足

$$f_i(\bm e_j)=\begin{cases}
1 &,i=j\\
0 &,i\neq j
\end{cases}$$

称$f_1,\cdots,f_n$为$\bm e_1,\cdots,\bm e_n$的 对偶基。

设$\bm \alpha_1,\cdots,\bm \alpha_n$是$V$的一组基，$f_1,\cdots,f_n$是其对偶基，那么

对任意的$\bm \alpha\in V$，

$$\bm \alpha=\sum_{i=1}^n f_i(\bm \alpha)\bm \alpha_i$$

对任意的$f\in V^*$，

$$f=\sum_{i=1}^n f(\bm \alpha_i)f_i$$

对偶基之间的过渡矩阵

设$\bm \alpha_1,\cdots,\bm \alpha_n$和$\bm \beta_1,\cdots,\bm \beta_n$是$V$的两组基，$f_1,\cdots,f_n$和$g_1,\cdots,g_n$分别是它们的对偶基，若

$$\begin{gathered}
(\bm \beta_1,\cdots,\bm \beta_n)=(\bm \alpha_1,\cdots,\bm \alpha_n)\bm A\\
(g_1,\cdots,g_n)=(f_1,\cdots,f_n)\bm B
\end{gathered}$$

则有

$$\bm B=(\bm A^{-1})^T$$

证明考虑

$$\begin{aligned}
\begin{pmatrix}g_1\\ \vdots\\g_n\end{pmatrix}(\bm \beta_1,\cdots,\bm \beta_n)&=\bm E\\
\bm B^T\begin{pmatrix}f_1\\ \vdots\\f_n\end{pmatrix}(\bm \alpha_1,\cdots,\bm \alpha_n)\bm A&=\bm E\\
\bm B^T\bm A&=\bm E
\end{aligned}$$

对偶的对偶

设$V^*$是$V$的对偶空间，那么$\forall \bm \alpha\in V$，定义函数

$$\begin{aligned}
\bm \alpha^{** }: V ^ * &\to \mathbf F\\
f&\mapsto f(\bm \alpha)
\end{aligned}$$

那么

$$\begin{aligned}
\sigma: V&\to V^{** }\\
\bm \alpha &\mapsto \bm \alpha^{** }
\end{aligned}$$

是一个同构映射。

证明：容易验证$\sigma$保持加法和数乘。下证$\sigma$是单射，

任取$\bm \alpha\in \ker \sigma$，即$\bm \alpha^{** }$是零函数，即$\forall f\in V^ *$，$f(\bm \alpha)=\bm 0$。

设$\bm \alpha_1,\cdots,\bm \alpha_n$是$V$的一组基，$f_1,\cdots,f_n$是其对偶基，那么

$$\bm \alpha=\sum_{i=1}^nf_i(\bm \alpha)\bm \alpha_i=\bm 0$$

即$\ker \sigma={\bm 0}$，从而$\sigma$是单射，又$\dim V=\dim V^{** }$，得$\sigma$是同构映射。

双线性函数

$V$是$\bf F$上一线性空间，若二元函数$f:V \times V\to \mathbf F$，满足

1. $f(\bm \alpha,k_1\bm \beta_1+k_2\bm \beta_2)=k_1f(\bm \alpha,\bm \beta_1)+k_2f(\bm \alpha,\bm \beta_2)$
2. $f(k_1\bm \alpha_1+k_2\bm \alpha_2,\bm \beta)=k_1f(\bm \alpha_1,\bm \beta)+k_2f(\bm \alpha_2,\bm \beta)$

则称$f$是一双线性函数。

笛卡尔积的定义

$$U\times V={(\bm u_i,\bm v_i):\bm u_i\in U,\bm v_i\in V}$$

注意我们并未在$U\times V$上定义加法和数乘，所以不说$U\times V$是否为线性空间。

双线性函数的度量矩阵

$\bm \varepsilon_1,\bm \varepsilon_2,\cdots,\bm \varepsilon_{,n}$是一组基，$A_{ij}=f(\bm \varepsilon_i,\bm \varepsilon_j)$的$\bm A$称作$f$在这组基下的度量矩阵。

取定基后，$V/\bf F$上的双线性函数与$n$阶矩阵一一对应。

同一双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的。

双线性函数的退化性

设$f$是$V$上一双线性函数，称$Rad_L(f)={\bm \alpha\in V:\forall \bm \beta \in V,f(\bm \alpha,\bm \beta)=0}$，为$f$的 左根基。

当$Rad_L(f)={0}$时，称$f$是非退化的。

类似地可以定义右根基，不难证明$Rad_L(f)={0}\iff Rad_R(f)={0}$。

线性函数的Riesz表示

给定$V$上一双线性函数$f$，定义映射

$$\begin{aligned}
l_f: V &\to V^*\\
\bm \alpha &\mapsto f(\bm \alpha,_)
\end{aligned}$$

容易验证$l_f$是一线性映射，$\ker l_f=Rad_L(f)$。

$l_f$是同构，当且仅当$f$是非退化的。

由于$\dim V=\dim V^*$，$l_f$是同构$\iff \ker l_f=\bm 0\iff Rad_L(f)=0 \iff f$非退化。

给定非退化的双线性函数$f$，则每一个$V$上线性函数$u$，都存在唯一的 $\bm \alpha\in V$，使得$u$可以表示成$f(\bm \alpha,_)$的形式。

这种表示形式称为Riesz表示。

如果$f$是非退化的，Riesz表示同样可以应用在$V$的子空间$U$（不论$U$是否退化）中，因为$\forall g\in U^*$，都可以扩展成$V$上的线性函数$g’$再用Riesz表示（但这样的表示就不一定唯一了）。

对称与反对称

$f(\bm \alpha,\bm \beta)=f(\bm \alpha,\bm \beta)$，称为对称双线性函数。

$f(\bm \alpha,\bm \beta)=-f(\bm \alpha,\bm \beta)$，称为反对称双线性函数。

对称双线性函数的度量矩阵是对称的，反对称双线性函数的度量矩阵是反对称的。

$f(\bm \alpha,\bm \beta)=0$时称$\bm \alpha,\bm \beta$正交，记作$\bm \alpha \perp\bm \beta$。

对称矩阵

根据二次型相关知识，对任一对称双线性函数$f$都存在一组基，使得$f$的度量矩阵是对角阵。

设$f$是$V$上的对称双线性函数，则称函数

$$Q_f:\bm \alpha \to f(\bm \alpha,\bm \alpha)$$

为与$f$对应的二次齐次函数（或二次型）。

反对称矩阵

设$f$是$V$上的反对称双线性函数，则存在$V$的一组基$\bm \varepsilon_1,\bm \varepsilon_{-1},\bm \varepsilon_2,\bm \varepsilon_{-2},\cdots,\bm \varepsilon_{r},\bm \varepsilon_{-r},\bm \eta_1,\cdots,\bm \eta_s$，使得

$$\begin{cases}
f(\bm \varepsilon_i,\bm \varepsilon_{-i})=1 \\
f(\bm \varepsilon_i,\bm \varepsilon_j)=0 &,i+j\neq 0\\
f(\bm \alpha,\bm \eta_k)=0 &,\forall \bm \alpha \in V
\end{cases}$$

证法1：

即证任一反对称矩阵$\bm A$合同于

$$\bm S=\begin{pmatrix}
0 & 1 &&&&\\
-1 & 0 &&&&\\
&& \ddots&&&&\\
&&& 0 & 1 &&\\
&&& -1 & 0 &&\\
&&&&& 0 &\\
&&&&&& \ddots\\
&&&&&&& 0
\end{pmatrix}$$

对$\bm A$的阶数$n$用数学归纳法。

$n=1$时，有$\bm A=\bm O$；

$n=2$时，若$\bm A\neq \bm O$，则存在$\bm \alpha,\bm \beta\in V,f(\bm \alpha,\bm \beta)=c\neq 0$，且$\bm \alpha,\bm \beta$线性无关，取$\bm \alpha,\frac{1}{c}\bm \beta$作为一组基即可。

若$n< k$时命题成立，考虑$n=k$的情况。假设$\bm A\neq \bm O$，存在$i,j$使得$a_{ij}\neq 0$，且必有$i\neq j$。进行对称初等变换

$$\bm P(1,i)^T \bm A \bm P(1,i)$$

那么$a_{ij}$被换到了$(1,j)$位置，再进行对称初等变换

$$\bm P(2,j)^T \bm A \bm P(2,j)$$

继续被换到了$(1,2)$位置，再进行对称初等变换

$$\bm P(1(a_{12}^{-1}))^T \bm A\bm P(1(a_{12}^{-1}))$$

此时矩阵形如

$$\begin{pmatrix}
0 &1 & \cdots & a_{1k}\\
-1 & 0 & \cdots & a_{2k}\\
\vdots & \vdots && \vdots\\
-a_{1k} & -a_{2k} & \cdots & 0
\end{pmatrix}$$

由于$(0,1),(-1,0)$线性无关，可以继续通过对称初等变换使得第1,2行，第1,2列其余元素变为$0$，然后利用归纳假设得证。

证法2：

若$f(\bm \alpha,\bm \beta)$非零，则可以找到$\bm \varepsilon_1,\bm \varepsilon_{-1}$，使得$f(\bm \varepsilon_1,\bm \varepsilon_{-1})$，且必有$\bm \varepsilon_1,\bm \varepsilon_{-1}$线性无关。将其扩充称为$V$的一组基$$\bm \varepsilon_1,\bm \varepsilon_{-1},\bm \xi_3,\cdots,\bm \xi_n$$

正交化，令$$\bm \beta_i=\bm \xi_i-f(\bm \xi_i,\bm \varepsilon_{-1})\bm \varepsilon_1+f(\bm \xi_i,\bm \varepsilon_1)\bm \varepsilon_{-1}$$

那么$$f(\bm \beta_i,\bm \varepsilon_1)=f(\bm \beta_i,\bm \varepsilon_{-1})=0$$，$$V=L(\bm \varepsilon_1,\bm \varepsilon_{-1})\dotplus L(\bm \beta_3,\cdots,\bm \beta_n)$$

对$L(\bm \beta_3,\cdots,\bm \beta_n)$归纳即可。

度量空间

$V$是$\bf F$上的线性空间，而$f(\bm \alpha,\bm \beta)$是$V$上对称或反对称的双线性函数，则称$f(\bm \alpha,\bm \beta)$为$V$的内积。具有内积的线性空间称为度量空间。

其中，对称的称为正交空间，反对称的称为辛空间。

例：Minkowski 空间

狭义相对论中，用$(x_1,x_2,x_3,ct)$刻画物体运动：表示在$t$时刻处于位置$(x_1,x_2,x_3)$，$c$表示光速。

于是定义了双线性函数$f:\R^4\times \R^4\to \R $，对任意

$$\begin{gathered}
\bm \alpha=(x_1,x_2,x_3,x_4),\bm \beta=(y_1,y_2,y_3,y_4),\\
f(\bm \alpha,\bm \beta)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3-x_4y_4.
\end{gathered}$$

$f$是对称的。

$\R^4$上保持内积不变的变换$\sigma$，$$(\sigma\bm \alpha,\sigma\bm \beta)=(\bm \alpha,\bm \beta)$$
称为广义洛伦兹变换。

由于物体运动速度不能超过光速，可以证明$f(\bm \alpha,\bm \alpha)<0$。

度量空间与欧氏空间的差异

度量空间与欧氏空间最大不同是，可能存在$\bm \alpha\neq 0$，而$(\bm \alpha,\bm \alpha)=0$。

度量矩阵非退化时，称这个度量空间是非退化的。

$U$是度量空间$V$的子空间，内积在它上面的限制$f|_{U\times U}$也是一个对称/反对称双线性函数，从而$(U,f| _{U\times U})$也是一度量空间。

注意，$V$的非退化性和$U$的非退化性并无关联。

度量空间的正交性

关于正交的定义，
1. $(\bm \alpha,\bm \beta)=0$，则称$\bm \alpha,\bm \beta$正交，记作$\bm \alpha\perp\bm \beta$。
2. 从而可以定义$\bm \alpha \perp U$，$U_1,\perp,U_2$。
3. $U$是$V$的子空间，$U^{\perp}={\bm \alpha\in V:\bm \alpha\perp U}$也是$V$的一个子空间，称为正交补。
4. 若$U_1\perp U_2$，且$U_1\cap U_2={\bm 0}$，则$U_1+U_2$称为正交直和。

$Rad_L(W)=Rad_R(W)=W^{\perp} \cap W$

由定义和$\bm \alpha\perp\bm \beta=\bm \beta\perp\bm \alpha$可得。

于是在度量空间中不在区分左右根基，记$W^{\perp}\cap W$为$Rad(W)$。

子空间$W$非退化的充分必要条件是$Rad W={0}$。

显然。

迷向

迷向的定义，

1. 设$\bm \alpha\in V,\bm \alpha\neq 0$，若$\bm \alpha\perp\bm \alpha$，则称$\bm \alpha$是迷向向量。
2. 若$W\le V$，$Rad W=W$，则称$W$是$V$的一个全迷向子空间。

$V$是非退化正交空间，$V$中必存在非零非迷向向量。

由$V$非退化，则必存在$\bm \alpha,\bm \beta\in V$使$(\bm \alpha,\bm \beta)\neq 0$。若$\bm \alpha,\bm \beta$均为迷向向量，则有$$(\bm \alpha+\bm \beta,\bm \alpha+\bm \beta)=2(\bm \alpha,\bm \beta)\neq 0$$

故$\bm \alpha+\bm \beta$是迷向向量。

关于正交性的几个定理

$f$是$V$上的双线性函数，$\forall \bm \alpha,\bm \beta\in V,\bm \alpha\perp\bm \beta \iff \bm \beta \perp \bm \alpha$当且仅当$f$是对称或反对称的。

（这个定理可以从矩阵入手证明，但是我不会）

思路：右推左是显然的。左推右，考虑证明$f$要么满足对称，要么$V$中所有向量均是迷向向量（这很容易推出反对称）。

我们把$f(\bm x,\bm y)=f(\bm y,\bm x)$简记为$x \Join y$。

若$\forall \bm x\in V$都有$\bm x \Join V$，那么$f$就是对称的，证毕。

若不然，任取一$\bm x\not \Join V$，我们证明引理

对任意的$\bm x\not \Join V$，若$\bm x\Join \bm y$，则必有$\bm x\perp \bm y$。（特别地，取$\bm y=\bm x$，可得$\bm x$是一迷向向量）

假设由于$\bm x\not \Join V$，存在$\bm z\in V$，$\bm x\not \Join \bm z$，要证$\bm x\perp \bm y$，只需证$$f(\bm x,\bm y)(f(\bm x,\bm z)-f(\bm z,\bm x))=0$$

有
$$\begin{aligned}
f(\bm x,\bm y)(f(\bm x,\bm z)-f(\bm z,\bm x)) &=f(\bm x,\bm y)f(\bm x,\bm z)-f(\bm x,\bm y)f(\bm z,\bm x)\\
&=f(\bm y,\bm x)f(\bm x,\bm z)-f(\bm x,\bm y)f(\bm z,\bm x)\\
&=f(\bm x,f(\bm x,\bm y)\bm z-f(\bm z,\bm x)\bm y)
\end{aligned}$$

如果将两个自变量交换，可以看到

$$f(f(\bm x,\bm y)\bm z-f(\bm z,\bm x)\bm y,\bm x)=f(\bm y,\bm x)f(\bm z,\bm x)-f(\bm y,\bm x)f(\bm z,\bm x)=0$$

根据题设$\bm \alpha\perp\bm \beta\iff\bm \beta\perp\bm \alpha$，从而推出先前的式子为$0$，引理证毕。

继续考虑原定理的证明，由于$f$不是对称的，我们要证“$\forall \bm w\in V$，$\bm w$是迷向向量”，根据引理，$\bm w\not \Join V$的情况已经证完，考虑$\bm w\Join V$的情况。

由$f$不是对称的，必然存在$\bm u,\bm v\in V$，$\bm u\not \Join \bm v$，同时有$\bm u \not \Join V,\bm v\not \Join V$，根据引理，$\bm u,\bm v$都是迷向的。又$\bm w\Join V$，根据引理，$f(\bm w,\bm u)=f(\bm w,\bm v)=0$，但是

$$f(\bm w+\bm u,\bm v)=f(\bm u,\bm v)\neq f(\bm v,\bm u)=f(\bm v,\bm u+\bm w)$$

即$\bm w+\bm u\not \Join V$，根据引理可得$\bm w+\bm u$是迷向的，即$\bm w$也是迷向的，定理证毕。

$V$是度量空间，$U$是$V$的子空间，当$U$或$V$非退化时，$$\dim U^{\perp}=\dim V-\dim U$$

定义映射
$$\begin{aligned}
\tau: V&\to U^*\\
\bm \alpha&\mapsto(\bm \alpha,_)
\end{aligned}$$

显然$\tau$是一线性映射，且$\ker \tau=U^{\perp}$，下面只需证$\Im\tau=U^*$：

1. 若$U$非退化，$\ker \tau|_U={\bm 0}$，即$\tau|_U$是满射，从而$\tau$是满射。

2. 若$V$非退化，则对于每一个线性函数$l\in V^*$，必有一个Riesz表示$$l=(\bm \alpha,_),\bm \alpha \in V.$$又$\forall s\in U^ *$，可以扩展成一个$s’\in V^ *$，使得$s’|_U=s$。从而$\tau$是满射。

综上$\dim V=\dim \ker \tau+\dim \Im \tau=\dim U=\dim V$

$V$是非退化度量空间，$U$是$V$的子空间，则$(U^{\perp})^{\perp}=U$

显然有$U\sube (U^{\perp})^\perp$，而由上一定理有$\dim U=\dim (U^\perp)^\perp$，从而$U=(U^\perp)^\perp$。

$V$是非退化度量空间，且$U$是全迷向的，则$$\dim U\le \frac{1}{2}\dim V$$

由于$U$全迷向，所以$U\sube U^{\perp}$，从而$\dim V=\dim U^{\perp}+\dim U\ge 2\dim U$。

$V$是有限维度量空间，$U$是一子空间，则$V=U\dotplus U^{\perp}$的充要条件为$U$是一个非退化子空间。

必要性显然，即$U$和$U^{\perp}$构成直和必然有$Rad U={\bm 0}$。

充分性，由$Rad U={\bm 0}$，则$U\dotplus U^{\perp}$是正交直和，在根据$\dim V=\dim U+\dim U^{\perp}$，故有$V=U\dotplus U^{\perp}$。

设$V$是有限维度量空间，则存在分解$$V=Rad V\dotplus S$$

其中$S$必是非退化的，$Rad V$是全迷向的。

任取$S$是$Rad V$的补空间，由于$Rad V$是全迷向的，所以有正交直和$$V=Rad V\dotplus S$$

又$Rad S\perp Rad V$，所以$Rad S\sube Rad V\cap S={\bm 0}$，故$S$非退化。

保度量映射与等距

设$(U,f),(V,g)$是具有双线性函数的线性空间，$\tau\in Hom(U,V)$是一个单射，若$\forall \bm \alpha,\bm \beta\in U$，有$$g(\sigma(\bm \alpha),\sigma(\bm \beta))=f(\bm \alpha,\bm \beta)$$

则称$\sigma$是一个保度量映射。

若保度量映射又是线性空间之间的同构，称为等距。$U$与$V$等距记作$U\approx V$。

非退化正交空间/辛空间到自身的等距称为正交变换/辛变换。

若非退化正交空间/辛空间在一组基下的度量矩阵为$\bm M$，线性变换$\tau$在这组基下的矩阵是$\bm T$，则$\tau$是正交变换/辛变换等价于$\bm T^T\bm M\bm T=\bm M$。

保度量性。

若$V$是有限维非退化正交空间/辛空间，若$\tau\in Hom(V,V)$满足$$(\tau \bm \alpha,\tau \bm \beta)=(\bm \alpha,\bm \beta)$$

则$\tau$是正交变换/辛变换。

只需证$\tau$是单射。

双曲相关

$\bm \alpha,\bm \beta\in V$，且满足$$(\bm \alpha,\bm \alpha)=(\bm \beta,\bm \beta)=0,(\bm \alpha,\bm \beta)=1$$

则称$\bm \alpha,\bm \beta$是一个双曲对，而$H=L(\bm \alpha,\bm \beta)$称为双曲平面。

若$V$的一个子空间$U$可以写成若干个双曲平面的正交直和

$$U=H_1\dotplus \cdots \dotplus H_s$$

则称$U$是$V$的一个双曲子空间，进一步设$\bm \alpha_i,\bm \beta_i$是$H_i$的双曲对，则称$\bm \alpha_i,\bm \beta_i,\cdots,\bm \alpha_s,\bm \beta_s$是$U$的双曲基。

双曲扩展与非退化扩展

$V$是非退化度量空间，$U$是它的一个子空间，若$U\le S\le V$，则称$S$是$U$的一个扩张，如果$S$是$U$的一个极小非退化扩张，则称$S$是$U$的一个非退化完备化。

我们采取构造的思路来得到一个非退化完备化。

$V$是非退化度量空间，若$\bm \alpha\neq 0$是迷向向量，$L(\bm \alpha)\dotplus U_1$是正交直和，则存在双曲平面$H=L(\bm \alpha,\bm \beta)$使得有正交直和$$H\dotplus U_1$$

特别地，每个迷向向量都含于某个双曲平面中。

由于$\bm \alpha\in U_1,U_1=(U_1^{\perp})^\perp$，可知$\bm \alpha\notin (U_1^\perp)^\perp$，故存在$\bm \gamma\in U_1^\perp$，使得$(\bm \alpha,\bm \gamma)\neq 0$，又因$\bm \alpha$是迷向向量，得$\bm \alpha,\bm \gamma$线性无关。下面考虑两种情况：

1. 若$V$是辛空间，取$\bm \beta=\frac{1}{(\bm \alpha,\bm \gamma)}\bm \gamma$，就能满足$(\bm \alpha,\bm \beta)=1,(\bm \beta,\bm \beta)=0$。

2. 若$V$是正交空间，$\bm \beta=r\bm \alpha+s\bm \gamma$，如果要使$(\bm \alpha,\bm \beta)=1,(\bm \beta,\bm \beta)=0$，等价于
   $$\begin{cases}
   s(\bm \alpha,\bm \gamma)=1\\
   2rs(\bm \alpha,\bm \gamma)+s^2(\bm \gamma,\bm \gamma)=0
   \end{cases}$$
   它有唯一的一组解
   $$\begin{cases}
   s=(\bm \alpha,\bm \gamma)^{-1}\\
   r=-\frac{(\bm \gamma,\bm \gamma)}{2(\bm \alpha,\bm \gamma)}
   \end{cases}$$

因为$\bm \alpha,\bm \gamma\in U^{\perp}$，故$H=L(\bm \alpha,\bm \beta)\perp U_1$。且$U_1\cap H\le H^\perp \cap H=Rad H={\bm 0}$，故$H\dotplus U_1$。

设$U\le V$，$U=Rad U\dotplus W$，$\bm \alpha_1,\cdots,\bm \alpha_k$是$RadU$的一组基，则存在双曲子空间$$H=H_1\dotplus\cdots \dotplus H_k$$

且$\bm \alpha_1,\bm \beta_1,\cdots,\bm \alpha_k,\bm \beta_k$为$H$的双曲基，满足$\bar U=H\dotplus W$是$U$的一个非退化扩张（称为$U$的双曲扩张）,且$\dim \bar U=\dim U+\dim Rad U$，证毕。

对$k$用归纳法，$k=1$显然正确，考虑$k\ge 2$的情形。

由于

$$U=Rad U\dotplus W=L(\bm \alpha_1)\dotplus[L(\bm \alpha_2,\cdots,\bm \alpha_k)\dotplus W]$$

由上一定理，存在双曲平面$H_1=L(\bm \alpha_1,\bm \beta_1)$，有正交直和

$$U_1=H_1\dotplus[L(\bm \alpha_2,\cdots,\bm \alpha_k)\dotplus W]$$

易见

$$RadU_1=L(\bm \alpha_2,\cdots,\bm \alpha_k)$$

故由归纳假设有非退化扩张

$$\bar U=H_2\dotplus\cdots\dotplus H_k\dotplus[H_1\dotplus W]$$

(双曲扩展定理) 设$U$是非退化度量空间$V$的子空间，$U=Rad \dotplus W$，下列三条等价：
1. （双曲）$T$是$U$的双曲扩张，即$T=H\dotplus W$；
2. （极小）$T$是$U$的极小非退化扩张；
3. （维数）$T$是$U$的非退化扩张，且$$\dim T=\dim U+\dim Rad U$$

1推2，若$T$不是极小的，那存在非退化扩张$S$，有$U\le S< T$。根据构造方法，可以在$S$中构造一个双曲扩张$T’$，而$T’\le S< T$与$\dim T’=\dim T$矛盾。

2推3，由于$T$非退化，则根据构造方法，可以在$T$中构造$U$的双曲扩张$T’$，又$T$的极小性知$T=T’$，从而$\dim T=\dim U+\dim Rad U$。

3推1，根据构造方法，可以在$T$中构造$U$的双曲扩张$T’$，从而$\dim T’=\dim U+\dim Rad U$，则必有$T=T’$。

双曲扩张是极小的（即非退化完备化），且下述定理说明在等距意义下是唯一的。

给定子空间$U$的两个双曲扩张$T$和$T’$，则必有$T\approx T’$。

考虑$\forall \bm \alpha\in W$，令$\bm \alpha$在直和分解$$U=RadU\dotplus W’$$

中分解为$\bm \alpha=\bm \alpha_1+\bm \alpha_2$，则$\tau:\bm \alpha\to \bm \alpha_2$是保持内积的同构映射，所以$W\approx W’$。

又设$T=H\dotplus W$，$T’=H’\dotplus W’$，通过双曲基的对应不难得到$H\approx H’$，从而$T\approx T’$。

（非退化扩展定理）设$V,V’$是两个非退化度量空间。$U\le V$，且$\tau:U\to V’$是一个保度量映射，$\bar U$是$U$在$V$中的双曲扩张，则$\tau$可以扩展为$\bar U$到$V’$的保度量映射。

设$U=Rad U\dotplus W,Rad U=L(\bm \alpha_1,\cdots,\bm \alpha_k)$，由于$\tau$保度量，那么有

$$\begin{gathered}
Rad(\tau U)=L(\tau \bm \alpha_1,\cdots,\tau \bm \alpha_k)\\
\tau U=Rad(\tau U)\dotplus \tau W
\end{gathered}$$

设

$$\bar U=(L(\bm \alpha_1,\bm \beta_1)\dotplus \cdots \dotplus L(\bm \alpha_k,\bm \beta_k))\dotplus W$$

那么$\tau U$在$V’$中的非退化完备化

$$\overline{\tau U}=(L(\tau \bm \alpha_1,\bm \gamma_1)\dotplus \cdots \dotplus L(\tau \bm \alpha_k,\bm \gamma_k))\dotplus \tau W$$

定义$\bar \tau:\bar U\to V’$如下：

$$\begin{aligned}
\bar \tau(\bm \alpha_i)&=\tau(\bm \alpha_i)\\
\bar \tau(\bm \beta_i)&=\bm \gamma_i\\
\bar \tau(w)&=\tau(w),w\in W
\end{aligned}$$

$\bar \tau$即为所求。

正交变换及其分解

这部分研究非退化正交空间的正交变换。

$V$是正交空间，$0\neq \bm \alpha\in V$是一个非迷向向量。映射

$$\begin{aligned}
H_\bm \alpha:V&\to V\\
\bm \beta&\mapsto\bm \beta-2\frac{(\bm \beta,\bm \alpha)}{(\bm \alpha,\bm \alpha)}\bm \alpha
\end{aligned}$$

称为关于向量$\bm \alpha$的反射。

显然$H_\bm \alpha$把$\bm \alpha$变成了$-\bm \alpha$，而保持$L(\bm \alpha)^{\perp}$中的元素不变。

不难证明反射是 ，且是第二类的。

下面几个定理说明正交变换可以分解为反射的乘积。

（引理1）设$\tau:V\to W$是等距，且$$V=S\dotplus S^{\perp},W=T\dotplus T^\perp$$

若$\tau S=T$，则$\tau(S^\perp)=T^\perp$

$\forall \bm \beta\in S^\perp$，有$\tau \bm \beta\perp T$。$\forall \bm \gamma\in T$，$\exist \bm \alpha\in S$使得$\tau \bm \alpha=\bm \gamma$。由此

$$(\bm \gamma,\tau \bm \beta)=(\tau \bm \alpha,\tau \bm \beta)=(\bm \alpha,\bm \beta)=0$$

所以$\tau \bm \beta\perp T$，即$\tau(S^\perp)\sube T^\perp$。

反过来同样可以证明$\tau^{-1}(T^\perp)\sube S^\perp$，综上$\tau(S^\perp)=T^\perp$。

（引理2）设$V$是正交空间，若$(\bm \alpha,\bm \alpha)=(\bm \beta,\bm \beta)\neq 0$，则存在反射$\sigma$，使得$$\sigma\bm \alpha=\bm \beta\text{ or }\tau \bm \alpha=-\bm \beta$$

由假设可知$(\bm \alpha-\bm \beta,\bm \alpha+\bm \beta)=0$，且显然$(\bm \alpha+\bm \beta,\bm \alpha+\bm \beta)\neq 0$与$(\bm \alpha-\bm \beta,\bm \alpha-\bm \beta)\neq 0$必有一个成立。

当$(\bm \alpha-\bm \beta,\bm \alpha-\bm \beta)\neq 0$时，$H_{\bm \alpha-\bm \beta}(\bm \alpha)=\bm \beta$。

当$(\bm \alpha+\bm \beta,\bm \alpha+\bm \beta)\neq 0$时，$H_{\bm \alpha+\bm \beta}(\bm \alpha)=\bm \beta$。

设$\mathscr A$是非退化正交空间$V$上的正交变换，则$\mathscr A$可以分解为反射的乘积。

对$\dim V$归纳。

当$d=1$时，$\mathscr A\bm \alpha=k\bm \alpha,k=\pm 1$。

当$d\ge 2$时，由$V$的非退化性，必存在非零非迷向向量，不妨设其为$\bm \alpha$，因为$$(\mathscr A\bm \alpha,\mathscr A\bm \alpha)=(\bm \alpha,\bm \alpha)\neq 0$$

由引理2，存在反射$H_\bm \beta$使得$$H_\bm \beta\mathscr A\bm \alpha=k\bm \alpha,k=\pm 1$$

故$L(\bm \alpha)$是$H_\bm \beta \mathscr A$的不变子空间，又因$V=L(\bm \alpha)\dotplus L(\bm \alpha)^\perp$。根据引理1，$L(\bm \alpha)^\perp$也是$H_\bm \beta\mathscr A$的不变子空间。又因$V$非退化，得$L(\bm \alpha)^\perp$也非退化。

由于$\dim L(\bm \alpha)^\perp< d$，由归纳假设

$$H_\bm \beta\mathscr A |_ { L(\bm \alpha)^\perp}=H’{\bm \gamma_1}\cdots H’{\bm \gamma_t}$$

其中$H’_ {\bm \gamma_i}$都是$L(\bm \alpha)^\perp$上的反射。注意到，$H’_ {\bm \gamma_i}=H_ {\bm \gamma_i}|_ {L(\bm \alpha)^\perp}, \bm 1_{L(\bm \alpha)}=H_{\bm \gamma_i}|_ {L(\bm \alpha)}$，那么

当$k=1$时，$\mathscr A=H_\bm \beta H_{\bm \gamma_1} \cdots H_{\bm \gamma_t}$。

当$k=-1$时，$\mathscr A=H_\bm \beta H_\bm \alpha H_{\bm \gamma_1}\cdots H_{\bm \gamma_t}$。

辛变换及分解

辛变换是指辛空间到自身的等距映射。

辛平延

考虑$T=\begin{pmatrix}1&-c\\0&1\end{pmatrix}$这样的最简单的辛变换，满足

$$\tau \bm \alpha=\bm \alpha,\tau \bm \beta=\bm \beta-c\bm \alpha$$

设$v=a\bm \alpha+b\bm \beta$，合在一起就是$$\tau v=v+c(v,\bm \alpha)\bm \alpha$$

（辛平延的定义）若$V$是一个辛空间，$0\neq \bm \alpha\in V$，$c\in \bf F$，则映射

$$\begin{aligned}
\tau_{\bm \alpha,c}:V&\to V\\
v&\mapsto v+c(v,\bm \alpha)\bm \alpha
\end{aligned}$$

称为辛平延。

辛平延是辛变换。

当$0\neq \bm \alpha\in Rad V$时，$V=L(\bm \alpha)^\perp$，从而$\tau_{\bm \alpha,c}=\bm 1_V$，显然是辛变换。

当$0\neq \bm \alpha$，存在$\bm \beta$使得$\bm \alpha,\bm \beta$是双曲对。由于$\dim L(\bm \alpha,\bm \beta)^\perp=n-2$，且$\bm \alpha \in L(\bm \alpha)^\perp$，可以推出，
$$V=L(\bm \beta)\oplus L(\bm \alpha)^\perp$$

那么对任意的$\bm \beta_1+\bm \gamma_1,\bm \beta_2+\bm \gamma_2\in V$（其中$\bm \beta_1,\bm \beta_2\in L(\bm \beta),\bm \gamma_1,\bm \gamma_2\in L(\bm \alpha)^\perp$）不难验证

$$(\tau_{\bm \alpha,c}(\bm \beta_1+\bm \gamma_1),\tau_{\bm \alpha,c}(\bm \beta_2+\bm \gamma_2))=(\bm \beta_1+\bm \gamma_1,\bm \beta_2+\bm \gamma_2)$$

得证。

辛平延的性质

可以看出，$\tau_{\bm \alpha,c}$把$\bm \beta$变成了$\bm \beta-c\bm \alpha$，保持了$L(\bm \alpha)^\perp$中的元素不变。

简单验证可得辛平延行列式为$1$。

辛平延几个显然的性质

1.$\tau_ {\bm \alpha,c}=1 \iff c=0$

2.$\tau_ {\bm \alpha,c}|_ {{L(\bm \alpha)}^\perp}=1$，且当$c\neq 0$时，
$$\bm \beta\in L(\bm \alpha)^\perp\iff \tau_{\bm \alpha,c}(\bm \beta)=\bm \beta$$

3.$\tau_{\bm \alpha,a}\tau{\bm \alpha,b}=\tau_{\bm \alpha,a+b}$，$\tau_{\bm \alpha,a}^{-1}=\tau_{\bm \alpha,-a}$

4对任意辛变换$\sigma$，$\sigma\tau_{\bm \alpha,a}\sigma^{-1}=\tau_{\sigma\bm \alpha,a}$

5.$0\neq b\in F$，$\tau_{b\bm \alpha,a}=\tau_{\bm \alpha,ab^2}$

辛变换的分解

（引理1）设$\tau:V\to W$是等距，
$$V=S\dotplus S^\perp,W=T\dotplus T^\perp$$

如果$\tau S=T$，则$\tau(S^\perp)=T^\perp$。

证明和正交变换类似。

（引理2） $\forall \bm \alpha,\bm \beta\in V$，$\bm \alpha\neq 0,\bm \beta\neq 0$，存在辛平延的积把$\bm \alpha$变为$\bm \beta$。

$\bm \alpha$能变成$\bm \beta$记作$\bm \alpha\leftrightarrow \bm \beta$

1. 若$(\bm \alpha,\bm \beta)\neq 0$，则
   $$\tau_{\bm \alpha-\bm \beta,\frac{1}{(\bm \alpha,\bm \beta)}}=\bm \beta$$
2. 若$(\bm \alpha,\bm \beta)=0$，且$\bm \alpha,\bm \beta$线性无关。则$L(\bm \alpha,\bm \beta)$是全迷向的，从而含于双曲子空间$H(\bm \alpha,\bm w_1)\dotplus H(\bm \beta,\bm w_2)$中。设$w=w_1+w_2$，满足$(\bm \alpha,\bm w)=(\bm \beta,\bm w)=1$，由情况1知
   $$a\leftrightarrow w\leftrightarrow b$$
3. 若$(\bm \alpha,\bm \beta)=0$，且$\bm \alpha,\bm \beta$线性相关。则$\bm \alpha,\bm \beta$含于双曲平面$H(\bm \alpha,\bm w)$中。$(\bm \alpha,\bm w)\neq 0,(\bm \beta,\bm w)\neq 0$。由情况1知
   $$a\leftrightarrow w\leftrightarrow b$$

（引理3）$(\bm \alpha_1,\bm \beta_1),(\bm \alpha_2,\bm \beta_2)$是两个双曲对，则存在辛平延的积把$(\bm \alpha_1,\bm \beta_1)$变为$(\bm \alpha_2,\bm \beta_2)$.

由引理2，我们可以先一侧变为相同，同时辛平延是辛变换，保持双曲性，从而只需证$(\bm \alpha,\bm \beta_1)\leftrightarrow(\bm \alpha,\bm \beta_2)$。

1. 若$(\bm \beta_1,\bm \beta_2)\neq 0$。则

$$\tau_{\bm \beta_1-\bm \beta_2,\frac{1}{(\bm \beta_1,\bm \beta_2)}}\bm \beta_1=\bm \beta_2,\tau_{\bm \beta_1-\bm \beta_2,\frac{1}{(\bm \beta_1,\bm \beta_2)}}\bm \alpha=\bm \alpha$$

所以$(\bm \alpha,\bm \beta_1)\leftrightarrow(\bm \alpha,\bm \beta_2)$。

2. 若$(\bm \beta_1,\bm \beta_2)=0$。则$(\bm \alpha,\bm \alpha+\bm \beta_1)$也是双曲对，同时

$$(\bm \beta_1,\bm \alpha+\bm \beta_1)=-1,(\bm \beta_2,\bm \alpha+\bm \beta_1)=-1$$

根据情况1，

$$(\bm \alpha,\bm \beta_1)\leftrightarrow (\bm \alpha,\bm \alpha+\bm \beta_1)\leftrightarrow(\bm \alpha,\bm \beta_2)$$

(辛变换的分解) 对于非退化辛空间$V$，任一辛变换是辛平延之积。

由$V$的非退化性，可知$\dim V$是偶数，对$d=\frac{1}{2}\dim V$归纳

$d=1$时，由引理3立得。

$d\ge 2$时，取出$V$中一双曲对$(\bm \alpha,\bm \beta)$，根据引理3，存在辛平延之积$\tau$，使得$\tau(\bm \alpha,\bm \beta)=(\mathscr A\bm \alpha,\mathscr A\bm \beta)$，即$$\tau^{-1}\mathscr A(\bm \alpha,\bm \beta)=(\bm \alpha,\bm \beta)$$

由引理1，$\tau^{-1}\mathscr A[H(\bm \alpha,\bm \beta)^\perp]=H(\bm \alpha,\bm \beta)^\perp$。

由归纳假设，$\tau^{-1}\mathscr A|_{H(\bm \alpha,\bm \beta)^{\perp}}$可以写成$L(\bm \alpha,\bm \beta)^\perp$上的辛平延之积，之后的证明类似正交变换。

辛变换行列式为$1$。

因为辛平延行列式为$1$。