DOFY's Blog
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双线性函数与辛空间

对偶空间

线性映射与同态空间

线性映射又称同态。用Hom_{\mathbf F}(U,V)表示UV同态的集合。

V是一维时,称之为线性函数。

容易看出Hom(U,V)是一个线性空间。

同态空间与矩阵空间的同构\sigma:U\to V为线性映射,取定U的一组基\bm \varepsilon_1,\bm \varepsilon_2,\cdots,\bm \varepsilon_{,n}V的一组基\bm \eta_1,\bm \eta_2,\cdots,\bm \eta_{,m},那么存在关系:

\sigma(\bm \varepsilon_1,\bm \varepsilon_2,\cdots,\bm \varepsilon_{,n})=(\bm \eta_1,\bm \eta_2,\cdots,\bm \eta_{,n})\bm A

Hom_{\bf F}(U,V)\cong M_{m\times n}(\bf F)

对偶空间

V\bf F上一n维线性空间,称V上所有线性函数构成的空间V^{*}=Hom_{\bf F}(V,\bf F)V对偶空间

线性函数可以由其在一组基上的取值确定:

\bm \alpha=x_1\bm \varepsilon_1+\cdots+x_n\bm \varepsilon_n

那么对任意f\in V^*

f(\bm \alpha)=x_1f(\bm \varepsilon_1)+\cdots+x_nf(\bm \varepsilon_n)

对偶空间元素的向量表示

\bm \alpha_1,\cdots,\bm \alpha_nV的一组基,则映射

\begin{aligned}
\sigma: V^*&\to \mathbf {F}^n\\
f&\mapsto (f(\bm \alpha_1),\cdots,f(\bm \alpha_n))
\end{aligned}
是线性同构。

\sigma既是单射又是满射,只需验证其线性性。

对偶基

\mathbf F^n的标准基为\bm e_1,\cdots,\bm e_n,在上述同构映射\sigma下考虑它们的原像f_1,\cdots,f_nf_i满足

f_i(\bm e_j)=\begin{cases}
1 &,i=j\\
0 &,i\neq j
\end{cases}

f_1,\cdots,f_n\bm e_1,\cdots,\bm e_n对偶基

\bm \alpha_1,\cdots,\bm \alpha_nV的一组基,f_1,\cdots,f_n是其对偶基,那么

对任意的\bm \alpha\in V

\bm \alpha=\sum_{i=1}^n f_i(\bm \alpha)\bm \alpha_i

对任意的f\in V^*

f=\sum_{i=1}^n f(\bm \alpha_i)f_i

对偶基之间的过渡矩阵

\bm \alpha_1,\cdots,\bm \alpha_n\bm \beta_1,\cdots,\bm \beta_nV的两组基,f_1,\cdots,f_ng_1,\cdots,g_n分别是它们的对偶基,若

\begin{gathered}
(\bm \beta_1,\cdots,\bm \beta_n)=(\bm \alpha_1,\cdots,\bm \alpha_n)\bm A\\
(g_1,\cdots,g_n)=(f_1,\cdots,f_n)\bm B
\end{gathered}

则有

\bm B=(\bm A^{-1})^T

证明考虑

\begin{aligned}
\begin{pmatrix}g_1\\ \vdots\\g_n\end{pmatrix}(\bm \beta_1,\cdots,\bm \beta_n)&=\bm E\\
\bm B^T\begin{pmatrix}f_1\\ \vdots\\f_n\end{pmatrix}(\bm \alpha_1,\cdots,\bm \alpha_n)\bm A&=\bm E\\
\bm B^T\bm A&=\bm E
\end{aligned}

对偶的对偶

V^*V的对偶空间,那么\forall \bm \alpha\in V,定义函数

\begin{aligned}
\bm \alpha^{** }: V ^ * &\to \mathbf F\\
f&\mapsto f(\bm \alpha)
\end{aligned}

那么

\begin{aligned}
\sigma: V&\to V^{** }\\
\bm \alpha &\mapsto \bm \alpha^{** }
\end{aligned}

是一个同构映射。

证明:容易验证\sigma保持加法和数乘。下证\sigma是单射,

任取\bm \alpha\in \ker \sigma,即\bm \alpha^{** }是零函数,即\forall f\in V^ *f(\bm \alpha)=\bm 0

\bm \alpha_1,\cdots,\bm \alpha_nV的一组基,f_1,\cdots,f_n是其对偶基,那么

\bm \alpha=\sum_{i=1}^nf_i(\bm \alpha)\bm \alpha_i=\bm 0

\ker \sigma={\bm 0},从而\sigma是单射,又\dim V=\dim V^{** },得\sigma是同构映射。

双线性函数

V\bf F上一线性空间,若二元函数f:V \times V\to \mathbf F,满足

  1. $f(\bm \alpha,k_1\bm \beta_1+k_2\bm \beta_2)=k_1f(\bm \alpha,\bm \beta_1)+k_2f(\bm \alpha,\bm \beta_2)$
  2. $f(k_1\bm \alpha_1+k_2\bm \alpha_2,\bm \beta)=k_1f(\bm \alpha_1,\bm \beta)+k_2f(\bm \alpha_2,\bm \beta)$

则称f是一双线性函数。

笛卡尔积的定义

U\times V={(\bm u_i,\bm v_i):\bm u_i\in U,\bm v_i\in V}

注意我们并未在U\times V上定义加法和数乘,所以不说U\times V是否为线性空间。

双线性函数的度量矩阵

\bm \varepsilon_1,\bm \varepsilon_2,\cdots,\bm \varepsilon_{,n}是一组基,A_{ij}=f(\bm \varepsilon_i,\bm \varepsilon_j)\bm A称作f在这组基下的度量矩阵。

取定基后,V/\bf F上的双线性函数与n阶矩阵一一对应。

同一双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的。

双线性函数的退化性

fV上一双线性函数,称Rad_L(f)={\bm \alpha\in V:\forall \bm \beta \in V,f(\bm \alpha,\bm \beta)=0},为f左根基

Rad_L(f)={0}时,称f非退化的

类似地可以定义右根基,不难证明Rad_L(f)={0}\iff Rad_R(f)={0}

线性函数的Riesz表示

给定V上一双线性函数f,定义映射

\begin{aligned}
l_f: V &\to V^*\\
\bm \alpha &\mapsto f(\bm \alpha,_)
\end{aligned}

容易验证l_f是一线性映射,\ker l_f=Rad_L(f)

l_f是同构,当且仅当f是非退化的。

由于\dim V=\dim V^*l_f是同构\iff \ker l_f=\bm 0\iff Rad_L(f)=0 \iff f非退化。

给定非退化的双线性函数f,则每一个V上线性函数u,都存在唯一的 \bm \alpha\in V,使得u可以表示成f(\bm \alpha,_)的形式。

这种表示形式称为Riesz表示

如果f是非退化的,Riesz表示同样可以应用在V的子空间U(不论U是否退化)中,因为\forall g\in U^*,都可以扩展成V上的线性函数g’再用Riesz表示(但这样的表示就不一定唯一了)。

对称与反对称

f(\bm \alpha,\bm \beta)=f(\bm \alpha,\bm \beta),称为对称双线性函数。

f(\bm \alpha,\bm \beta)=-f(\bm \alpha,\bm \beta),称为反对称双线性函数。

对称双线性函数的度量矩阵是对称的,反对称双线性函数的度量矩阵是反对称的。

f(\bm \alpha,\bm \beta)=0时称\bm \alpha,\bm \beta正交,记作\bm \alpha \perp\bm \beta

对称矩阵

根据二次型相关知识,对任一对称双线性函数f都存在一组基,使得f的度量矩阵是对角阵。

fV上的对称双线性函数,则称函数

Q_f:\bm \alpha \to f(\bm \alpha,\bm \alpha)

为与f对应的二次齐次函数(或二次型)。

反对称矩阵

fV上的反对称双线性函数,则存在V的一组基\bm \varepsilon_1,\bm \varepsilon_{-1},\bm \varepsilon_2,\bm \varepsilon_{-2},\cdots,\bm \varepsilon_{r},\bm \varepsilon_{-r},\bm \eta_1,\cdots,\bm \eta_s,使得

\begin{cases}
f(\bm \varepsilon_i,\bm \varepsilon_{-i})=1 \\
f(\bm \varepsilon_i,\bm \varepsilon_j)=0 &,i+j\neq 0\\
f(\bm \alpha,\bm \eta_k)=0 &,\forall \bm \alpha \in V \end{cases}

证法1:

即证任一反对称矩阵\bm A合同于

\bm S=\begin{pmatrix}
0&1 &&&&\\
-1&0 &&&&\\
&& \ddots&&&&\\
&&& 0&1 &&\\
&&& -1&0 &&\\
&&&&& 0 &\\
&&&&&& \ddots\\
&&&&&&& 0
\end{pmatrix}

\bm A的阶数n用数学归纳法。

n=1时,有\bm A=\bm O

n=2时,若\bm A\neq \bm O,则存在\bm \alpha,\bm \beta\in V,f(\bm \alpha,\bm \beta)=c\neq 0,且\bm \alpha,\bm \beta线性无关,取\bm \alpha,\frac{1}{c}\bm \beta作为一组基即可。

n< k时命题成立,考虑n=k的情况。假设\bm A\neq \bm O,存在i,j使得a_{ij}\neq 0,且必有i\neq j。进行对称初等变换

\bm P(1,i)^T \bm A \bm P(1,i)

那么a_{ij}被换到了(1,j)位置,再进行对称初等变换

\bm P(2,j)^T \bm A \bm P(2,j)

继续被换到了(1,2)位置,再进行对称初等变换

\bm P(1(a_{12}^{-1}))^T \bm A\bm P(1(a_{12}^{-1}))

此时矩阵形如

\begin{pmatrix}
0 &1&\cdots&a_{1k}\\
-1&0&\cdots&a_{2k}\\
\vdots&\vdots && \vdots\\
-a_{1k}&-a_{2k}&\cdots&0
\end{pmatrix}

由于(0,1),(-1,0)线性无关,可以继续通过对称初等变换使得第1,2行,第1,2列其余元素变为0,然后利用归纳假设得证。

证法2:

f(\bm \alpha,\bm \beta)非零,则可以找到\bm \varepsilon_1,\bm \varepsilon_{-1},使得f(\bm \varepsilon_1,\bm \varepsilon_{-1}),且必有\bm \varepsilon_1,\bm \varepsilon_{-1}线性无关。将其扩充称为V的一组基\bm \varepsilon_1,\bm \varepsilon_{-1},\bm \xi_3,\cdots,\bm \xi_n

正交化,令\bm \beta_i=\bm \xi_i-f(\bm \xi_i,\bm \varepsilon_{-1})\bm \varepsilon_1+f(\bm \xi_i,\bm \varepsilon_1)\bm \varepsilon_{-1}

那么f(\bm \beta_i,\bm \varepsilon_1)=f(\bm \beta_i,\bm \varepsilon_{-1})=0V=L(\bm \varepsilon_1,\bm \varepsilon_{-1})\dotplus L(\bm \beta_3,\cdots,\bm \beta_n)

L(\bm \beta_3,\cdots,\bm \beta_n)归纳即可。

度量空间

V\bf F上的线性空间,而f(\bm \alpha,\bm \beta)V上对称或反对称的双线性函数,则称f(\bm \alpha,\bm \beta)V的内积。具有内积的线性空间称为度量空间

其中,对称的称为正交空间反对称的称为辛空间

例:Minkowski 空间

狭义相对论中,用(x_1,x_2,x_3,ct)刻画物体运动:表示在t时刻处于位置(x_1,x_2,x_3)c表示光速。

于是定义了双线性函数f:\R^4\times \R^4\to \R,对任意

\begin{gathered}
\bm \alpha=(x_1,x_2,x_3,x_4),\bm \beta=(y_1,y_2,y_3,y_4),\\
f(\bm \alpha,\bm \beta)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3-x_4y_4.
\end{gathered}

f是对称的。

\R^4上保持内积不变的变换\sigma(\sigma\bm \alpha,\sigma\bm \beta)=(\bm \alpha,\bm \beta)
称为广义洛伦兹变换。

由于物体运动速度不能超过光速,可以证明f(\bm \alpha,\bm \alpha)<0

度量空间与欧氏空间的差异

度量空间与欧氏空间最大不同是,可能存在\bm \alpha\neq 0,而(\bm \alpha,\bm \alpha)=0

度量矩阵非退化时,称这个度量空间是非退化的

U是度量空间V的子空间,内积在它上面的限制f|_{U\times U}也是一个对称/反对称双线性函数,从而(U,f| _{U\times U})也是一度量空间。

注意,V的非退化性和U的非退化性并无关联。

度量空间的正交性

关于正交的定义,
1. (\bm \alpha,\bm \beta)=0,则称\bm \alpha,\bm \beta正交,记作\bm \alpha\perp\bm \beta
2. 从而可以定义\bm \alpha \perp UU_1,\perp,U_2
3. UV的子空间,U^{\perp}={\bm \alpha\in V:\bm \alpha\perp U}也是V的一个子空间,称为正交补
4. 若U_1\perp U_2,且U_1\cap U_2={\bm 0},则U_1+U_2称为正交直和。

Rad_L(W)=Rad_R(W)=W^{\perp} \cap W

由定义和\bm \alpha\perp\bm \beta=\bm \beta\perp\bm \alpha可得。

于是在度量空间中不在区分左右根基,记W^{\perp}\cap WRad(W)

子空间W非退化的充分必要条件是Rad W={0}

显然。

迷向

迷向的定义,

  1. \bm \alpha\in V,\bm \alpha\neq 0,若\bm \alpha\perp\bm \alpha,则称\bm \alpha迷向向量
  2. W\le VRad W=W,则称WV的一个全迷向子空间

V是非退化正交空间,V中必存在非零非迷向向量。

V非退化,则必存在\bm \alpha,\bm \beta\in V使(\bm \alpha,\bm \beta)\neq 0。若\bm \alpha,\bm \beta均为迷向向量,则有(\bm \alpha+\bm \beta,\bm \alpha+\bm \beta)=2(\bm \alpha,\bm \beta)\neq 0

\bm \alpha+\bm \beta是迷向向量。


关于正交性的几个定理

fV上的双线性函数,\forall \bm \alpha,\bm \beta\in V,\bm \alpha\perp\bm \beta \iff \bm \beta \perp \bm \alpha当且仅当f是对称或反对称的。

(这个定理可以从矩阵入手证明,但是我不会)

思路:右推左是显然的。左推右,考虑证明f要么满足对称,要么V中所有向量均是迷向向量(这很容易推出反对称)。

我们把f(\bm x,\bm y)=f(\bm y,\bm x)简记为x \Join y

\forall \bm x\in V都有\bm x \Join V,那么f就是对称的,证毕。

若不然,任取一\bm x\not \Join V,我们证明引理

对任意的\bm x\not \Join V,若\bm x\Join \bm y,则必有\bm x\perp \bm y。(特别地,取\bm y=\bm x,可得\bm x是一迷向向量)

假设由于\bm x\not \Join V,存在\bm z\in V\bm x\not \Join \bm z,要证\bm x\perp \bm y,只需证f(\bm x,\bm y)(f(\bm x,\bm z)-f(\bm z,\bm x))=0


\begin{aligned}
f(\bm x,\bm y)(f(\bm x,\bm z)-f(\bm z,\bm x)) &=f(\bm x,\bm y)f(\bm x,\bm z)-f(\bm x,\bm y)f(\bm z,\bm x)\\
&=f(\bm y,\bm x)f(\bm x,\bm z)-f(\bm x,\bm y)f(\bm z,\bm x)\\
&=f(\bm x,f(\bm x,\bm y)\bm z-f(\bm z,\bm x)\bm y)
\end{aligned}

如果将两个自变量交换,可以看到

f(f(\bm x,\bm y)\bm z-f(\bm z,\bm x)\bm y,\bm x)=f(\bm y,\bm x)f(\bm z,\bm x)-f(\bm y,\bm x)f(\bm z,\bm x)=0

根据题设\bm \alpha\perp\bm \beta\iff\bm \beta\perp\bm \alpha,从而推出先前的式子为0,引理证毕。

继续考虑原定理的证明,由于f不是对称的,我们要证“\forall \bm w\in V\bm w是迷向向量”,根据引理,\bm w\not \Join V的情况已经证完,考虑\bm w\Join V的情况。

f不是对称的,必然存在\bm u,\bm v\in V\bm u\not \Join \bm v,同时有\bm u \not \Join V,\bm v\not \Join V,根据引理,\bm u,\bm v都是迷向的。又\bm w\Join V,根据引理,f(\bm w,\bm u)=f(\bm w,\bm v)=0,但是

f(\bm w+\bm u,\bm v)=f(\bm u,\bm v)\neq f(\bm v,\bm u)=f(\bm v,\bm u+\bm w)

\bm w+\bm u\not \Join V,根据引理可得\bm w+\bm u是迷向的,即\bm w也是迷向的,定理证毕。


V是度量空间,UV的子空间,当UV非退化时,\dim U^{\perp}=\dim V-\dim U

定义映射
\begin{aligned}
\tau: V&\to U^*\\
\bm \alpha&\mapsto(\bm \alpha,_)
\end{aligned}

显然\tau是一线性映射,且\ker \tau=U^{\perp},下面只需证\Im\tau=U^*

  1. U非退化,\ker \tau|_U={\bm 0},即\tau|_U是满射,从而\tau是满射。

  2. V非退化,则对于每一个线性函数l\in V^*,必有一个Riesz表示l=(\bm \alpha,_),\bm \alpha \in V.\forall s\in U^ *,可以扩展成一个s’\in V^ *,使得s’|_U=s。从而\tau是满射。

综上\dim V=\dim \ker \tau+\dim \Im \tau=\dim U=\dim V


V是非退化度量空间,UV的子空间,则(U^{\perp})^{\perp}=U

显然有U\sube (U^{\perp})^\perp,而由上一定理有\dim U=\dim (U^\perp)^\perp,从而U=(U^\perp)^\perp


V是非退化度量空间,且U是全迷向的,则\dim U\le \frac{1}{2}\dim V

由于U全迷向,所以U\sube U^{\perp},从而\dim V=\dim U^{\perp}+\dim U\ge 2\dim U


V是有限维度量空间,U是一子空间,则V=U\dotplus U^{\perp}的充要条件为U是一个非退化子空间。

必要性显然,即UU^{\perp}构成直和必然有Rad U={\bm 0}

充分性,由Rad U={\bm 0},则U\dotplus U^{\perp}是正交直和,在根据\dim V=\dim U+\dim U^{\perp},故有V=U\dotplus U^{\perp}


V是有限维度量空间,则存在分解V=Rad V\dotplus S

其中S必是非退化的,Rad V是全迷向的。

任取SRad V的补空间,由于Rad V是全迷向的,所以有正交直和V=Rad V\dotplus S

Rad S\perp Rad V,所以Rad S\sube Rad V\cap S={\bm 0},故S非退化。

保度量映射与等距

(U,f),(V,g)是具有双线性函数的线性空间,\tau\in Hom(U,V)是一个单射,若\forall \bm \alpha,\bm \beta\in U,有g(\sigma(\bm \alpha),\sigma(\bm \beta))=f(\bm \alpha,\bm \beta)

则称\sigma是一个保度量映射

若保度量映射又是线性空间之间的同构,称为等距UV等距记作U\approx V

非退化正交空间/辛空间到自身的等距称为正交变换/辛变换。

若非退化正交空间/辛空间在一组基下的度量矩阵为\bm M,线性变换\tau在这组基下的矩阵是\bm T,则\tau是正交变换/辛变换等价于\bm T^T\bm M\bm T=\bm M

保度量性。

V是有限维非退化正交空间/辛空间,若\tau\in Hom(V,V)满足(\tau \bm \alpha,\tau \bm \beta)=(\bm \alpha,\bm \beta)

\tau是正交变换/辛变换。

只需证\tau是单射。

双曲相关

\bm \alpha,\bm \beta\in V,且满足(\bm \alpha,\bm \alpha)=(\bm \beta,\bm \beta)=0,(\bm \alpha,\bm \beta)=1

则称\bm \alpha,\bm \beta是一个双曲对,而H=L(\bm \alpha,\bm \beta)称为双曲平面

V的一个子空间U可以写成若干个双曲平面的正交直和

U=H_1\dotplus \cdots \dotplus H_s

则称UV的一个双曲子空间,进一步设\bm \alpha_i,\bm \beta_iH_i的双曲对,则称\bm \alpha_i,\bm \beta_i,\cdots,\bm \alpha_s,\bm \beta_sU双曲基

双曲扩展与非退化扩展

V是非退化度量空间,U是它的一个子空间,若U\le S\le V,则称SU的一个扩张,如果SU的一个极小非退化扩张,则称SU的一个非退化完备化

我们采取构造的思路来得到一个非退化完备化。

V是非退化度量空间,若\bm \alpha\neq 0是迷向向量,L(\bm \alpha)\dotplus U_1是正交直和,则存在双曲平面H=L(\bm \alpha,\bm \beta)使得有正交直和H\dotplus U_1

特别地,每个迷向向量都含于某个双曲平面中。

由于\bm \alpha\in U_1,U_1=(U_1^{\perp})^\perp,可知\bm \alpha\notin (U_1^\perp)^\perp,故存在\bm \gamma\in U_1^\perp,使得(\bm \alpha,\bm \gamma)\neq 0,又因\bm \alpha是迷向向量,得\bm \alpha,\bm \gamma线性无关。下面考虑两种情况:

  1. V是辛空间,取\bm \beta=\frac{1}{(\bm \alpha,\bm \gamma)}\bm \gamma,就能满足(\bm \alpha,\bm \beta)=1,(\bm \beta,\bm \beta)=0

  2. V是正交空间,\bm \beta=r\bm \alpha+s\bm \gamma,如果要使(\bm \alpha,\bm \beta)=1,(\bm \beta,\bm \beta)=0,等价于
    \begin{cases}
    s(\bm \alpha,\bm \gamma)=1\\
    2rs(\bm \alpha,\bm \gamma)+s^2(\bm \gamma,\bm \gamma)=0
    \end{cases}

    它有唯一的一组解
    \begin{cases}
    s=(\bm \alpha,\bm \gamma)^{-1}\\
    r=-\frac{(\bm \gamma,\bm \gamma)}{2(\bm \alpha,\bm \gamma)}
    \end{cases}

因为\bm \alpha,\bm \gamma\in U^{\perp},故H=L(\bm \alpha,\bm \beta)\perp U_1。且U_1\cap H\le H^\perp \cap H=Rad H={\bm 0},故H\dotplus U_1

U\le VU=Rad U\dotplus W\bm \alpha_1,\cdots,\bm \alpha_kRadU的一组基,则存在双曲子空间H=H_1\dotplus\cdots \dotplus H_k

\bm \alpha_1,\bm \beta_1,\cdots,\bm \alpha_k,\bm \beta_kH的双曲基,满足\bar U=H\dotplus WU的一个非退化扩张(称为U的双曲扩张),且\dim \bar U=\dim U+\dim Rad U,证毕。

k用归纳法,k=1显然正确,考虑k\ge 2的情形。

由于

U=Rad U\dotplus W=L(\bm \alpha_1)\dotplus[L(\bm \alpha_2,\cdots,\bm \alpha_k)\dotplus W]

由上一定理,存在双曲平面H_1=L(\bm \alpha_1,\bm \beta_1),有正交直和

U_1=H_1\dotplus[L(\bm \alpha_2,\cdots,\bm \alpha_k)\dotplus W]

易见

RadU_1=L(\bm \alpha_2,\cdots,\bm \alpha_k)

故由归纳假设有非退化扩张

\bar U=H_2\dotplus\cdots\dotplus H_k\dotplus[H_1\dotplus W]

(双曲扩展定理) 设U是非退化度量空间V的子空间,U=Rad \dotplus W,下列三条等价:
1. (双曲)TU的双曲扩张,即T=H\dotplus W
2. (极小)TU的极小非退化扩张;
3. (维数)TU的非退化扩张,且\dim T=\dim U+\dim Rad U

1推2,若T不是极小的,那存在非退化扩张S,有U\le S< T。根据构造方法,可以在S中构造一个双曲扩张T’,而T’\le S< T\dim T’=\dim T矛盾。

2推3,由于T非退化,则根据构造方法,可以在T中构造U的双曲扩张T’,又T的极小性知T=T’,从而\dim T=\dim U+\dim Rad U

3推1,根据构造方法,可以在T中构造U的双曲扩张T’,从而\dim T’=\dim U+\dim Rad U,则必有T=T’


双曲扩张是极小的(即非退化完备化),且下述定理说明在等距意义下是唯一的

给定子空间U的两个双曲扩张TT’,则必有T\approx T’

考虑\forall \bm \alpha\in W,令\bm \alpha在直和分解U=RadU\dotplus W’

中分解为\bm \alpha=\bm \alpha_1+\bm \alpha_2,则\tau:\bm \alpha\to \bm \alpha_2是保持内积的同构映射,所以W\approx W’

又设T=H\dotplus WT’=H’\dotplus W’,通过双曲基的对应不难得到H\approx H’,从而T\approx T’


(非退化扩展定理)设V,V’是两个非退化度量空间。U\le V,且\tau:U\to V’是一个保度量映射,\bar UUV中的双曲扩张,则\tau可以扩展为\bar UV’的保度量映射。

U=Rad U\dotplus W,Rad U=L(\bm \alpha_1,\cdots,\bm \alpha_k),由于\tau保度量,那么有

\begin{gathered}
Rad(\tau U)=L(\tau \bm \alpha_1,\cdots,\tau \bm \alpha_k)\\
\tau U=Rad(\tau U)\dotplus \tau W
\end{gathered}

\bar U=(L(\bm \alpha_1,\bm \beta_1)\dotplus \cdots \dotplus L(\bm \alpha_k,\bm \beta_k))\dotplus W

那么\tau UV’中的非退化完备化

\overline{\tau U}=(L(\tau \bm \alpha_1,\bm \gamma_1)\dotplus \cdots \dotplus L(\tau \bm \alpha_k,\bm \gamma_k))\dotplus \tau W

定义\bar \tau:\bar U\to V’如下:

\begin{aligned}
\bar \tau(\bm \alpha_i)&=\tau(\bm \alpha_i)\\
\bar \tau(\bm \beta_i)&=\bm \gamma_i\\
\bar \tau(w)&=\tau(w),w\in W
\end{aligned}

\bar \tau即为所求。

正交变换及其分解

这部分研究非退化正交空间的正交变换。

V是正交空间,0\neq \bm \alpha\in V是一个非迷向向量。映射

\begin{aligned}
H_\bm \alpha:V&\to V\\
\bm \beta&\mapsto\bm \beta-2\frac{(\bm \beta,\bm \alpha)}{(\bm \alpha,\bm \alpha)}\bm \alpha
\end{aligned}

称为关于向量\bm \alpha反射

显然H_\bm \alpha\bm \alpha变成了-\bm \alpha,而保持L(\bm \alpha)^{\perp}中的元素不变。

不难证明反射是 ,且是第二类的。


下面几个定理说明正交变换可以分解为反射的乘积。

(引理1)设\tau:V\to W是等距,且V=S\dotplus S^{\perp},W=T\dotplus T^\perp

\tau S=T,则\tau(S^\perp)=T^\perp

\forall \bm \beta\in S^\perp,有\tau \bm \beta\perp T\forall \bm \gamma\in T\exist \bm \alpha\in S使得\tau \bm \alpha=\bm \gamma。由此

(\bm \gamma,\tau \bm \beta)=(\tau \bm \alpha,\tau \bm \beta)=(\bm \alpha,\bm \beta)=0

所以\tau \bm \beta\perp T,即\tau(S^\perp)\sube T^\perp

反过来同样可以证明\tau^{-1}(T^\perp)\sube S^\perp,综上\tau(S^\perp)=T^\perp

(引理2)设V是正交空间,若(\bm \alpha,\bm \alpha)=(\bm \beta,\bm \beta)\neq 0,则存在反射\sigma,使得\sigma\bm \alpha=\bm \beta\text{ or }\tau \bm \alpha=-\bm \beta

由假设可知(\bm \alpha-\bm \beta,\bm \alpha+\bm \beta)=0,且显然(\bm \alpha+\bm \beta,\bm \alpha+\bm \beta)\neq 0(\bm \alpha-\bm \beta,\bm \alpha-\bm \beta)\neq 0必有一个成立。

(\bm \alpha-\bm \beta,\bm \alpha-\bm \beta)\neq 0时,H_{\bm \alpha-\bm \beta}(\bm \alpha)=\bm \beta

(\bm \alpha+\bm \beta,\bm \alpha+\bm \beta)\neq 0时,H_{\bm \alpha+\bm \beta}(\bm \alpha)=\bm \beta

\mathscr A是非退化正交空间V上的正交变换,则\mathscr A可以分解为反射的乘积。

\dim V归纳。

d=1时,\mathscr A\bm \alpha=k\bm \alpha,k=\pm 1

d\ge 2时,由V的非退化性,必存在非零非迷向向量,不妨设其为\bm \alpha,因为(\mathscr A\bm \alpha,\mathscr A\bm \alpha)=(\bm \alpha,\bm \alpha)\neq 0

由引理2,存在反射H_\bm \beta使得H_\bm \beta\mathscr A\bm \alpha=k\bm \alpha,k=\pm 1

L(\bm \alpha)H_\bm \beta \mathscr A的不变子空间,又因V=L(\bm \alpha)\dotplus L(\bm \alpha)^\perp。根据引理1,L(\bm \alpha)^\perp也是H_\bm \beta\mathscr A的不变子空间。又因V非退化,得L(\bm \alpha)^\perp也非退化。

由于\dim L(\bm \alpha)^\perp< d,由归纳假设

H_\bm \beta\mathscr A |_ { L(\bm \alpha)^\perp}=H’_{\bm \gamma_1}\cdots H’_{\bm \gamma_t}

其中H’_ {\bm \gamma_i}都是L(\bm \alpha)^\perp上的反射。注意到,H’_ {\bm \gamma_i}=H_ {\bm \gamma_i}|_ {L(\bm \alpha)^\perp}, \bm 1_{L(\bm \alpha)}=H_{\bm \gamma_i}|_ {L(\bm \alpha)},那么

k=1时,\mathscr A=H_\bm \beta H_{\bm \gamma_1} \cdots H_{\bm \gamma_t}

k=-1时,\mathscr A=H_\bm \beta H_\bm \alpha H_{\bm \gamma_1}\cdots H_{\bm \gamma_t}

辛变换及分解

辛变换是指辛空间到自身的等距映射。

辛平延

考虑T=\begin{pmatrix}1&-c\\0&1\end{pmatrix}这样的最简单的辛变换,满足

\tau \bm \alpha=\bm \alpha,\tau \bm \beta=\bm \beta-c\bm \alpha

v=a\bm \alpha+b\bm \beta,合在一起就是\tau v=v+c(v,\bm \alpha)\bm \alpha

(辛平延的定义)若V是一个辛空间,0\neq \bm \alpha\in Vc\in \bf F,则映射

\begin{aligned}
\tau_{\bm \alpha,c}:V&\to V\\
v&\mapsto v+c(v,\bm \alpha)\bm \alpha
\end{aligned}

称为辛平延。

辛平延是辛变换。

0\neq \bm \alpha\in Rad V时,V=L(\bm \alpha)^\perp,从而\tau_{\bm \alpha,c}=\bm 1_V,显然是辛变换。

0\neq \bm \alpha,存在\bm \beta使得\bm \alpha,\bm \beta是双曲对。由于\dim L(\bm \alpha,\bm \beta)^\perp=n-2,且\bm \alpha \in L(\bm \alpha)^\perp,可以推出,
V=L(\bm \beta)\oplus L(\bm \alpha)^\perp

那么对任意的\bm \beta_1+\bm \gamma_1,\bm \beta_2+\bm \gamma_2\in V(其中\bm \beta_1,\bm \beta_2\in L(\bm \beta),\bm \gamma_1,\bm \gamma_2\in L(\bm \alpha)^\perp)不难验证

(\tau_{\bm \alpha,c}(\bm \beta_1+\bm \gamma_1),\tau_{\bm \alpha,c}(\bm \beta_2+\bm \gamma_2))=(\bm \beta_1+\bm \gamma_1,\bm \beta_2+\bm \gamma_2)

得证。

辛平延的性质

可以看出,\tau_{\bm \alpha,c}\bm \beta变成了\bm \beta-c\bm \alpha,保持了L(\bm \alpha)^\perp中的元素不变。

简单验证可得辛平延行列式为1

辛平延几个显然的性质

1.\tau_ {\bm \alpha,c}=1 \iff c=0

2.\tau_ {\bm \alpha,c}|_ {{L(\bm \alpha)}^\perp}=1,且当c\neq 0时,
\bm \beta\in L(\bm \alpha)^\perp\iff \tau_{\bm \alpha,c}(\bm \beta)=\bm \beta

3.\tau_{\bm \alpha,a}\tau{\bm \alpha,b}=\tau_{\bm \alpha,a+b}\tau_{\bm \alpha,a}^{-1}=\tau_{\bm \alpha,-a}

4对任意辛变换\sigma\sigma\tau_{\bm \alpha,a}\sigma^{-1}=\tau_{\sigma\bm \alpha,a}

5.0\neq b\in F\tau_{b\bm \alpha,a}=\tau_{\bm \alpha,ab^2}

辛变换的分解

(引理1)设\tau:V\to W是等距,
V=S\dotplus S^\perp,W=T\dotplus T^\perp

如果\tau S=T,则\tau(S^\perp)=T^\perp

证明和正交变换类似。

(引理2) \forall \bm \alpha,\bm \beta\in V\bm \alpha\neq 0,\bm \beta\neq 0,存在辛平延的积把\bm \alpha变为\bm \beta

\bm \alpha能变成\bm \beta记作\bm \alpha\leftrightarrow \bm \beta

  1. (\bm \alpha,\bm \beta)\neq 0,则
    \tau_{\bm \alpha-\bm \beta,\frac{1}{(\bm \alpha,\bm \beta)}}=\bm \beta
  2. (\bm \alpha,\bm \beta)=0,且\bm \alpha,\bm \beta线性无关。则L(\bm \alpha,\bm \beta)是全迷向的,从而含于双曲子空间H(\bm \alpha,\bm w_1)\dotplus H(\bm \beta,\bm w_2)中。设w=w_1+w_2,满足(\bm \alpha,\bm w)=(\bm \beta,\bm w)=1,由情况1知
    a\leftrightarrow w\leftrightarrow b
  3. (\bm \alpha,\bm \beta)=0,且\bm \alpha,\bm \beta线性相关。则\bm \alpha,\bm \beta含于双曲平面H(\bm \alpha,\bm w)中。(\bm \alpha,\bm w)\neq 0,(\bm \beta,\bm w)\neq 0。由情况1知
    a\leftrightarrow w\leftrightarrow b

(引理3)(\bm \alpha_1,\bm \beta_1),(\bm \alpha_2,\bm \beta_2)是两个双曲对,则存在辛平延的积把(\bm \alpha_1,\bm \beta_1)变为(\bm \alpha_2,\bm \beta_2).

由引理2,我们可以先一侧变为相同,同时辛平延是辛变换,保持双曲性,从而只需证(\bm \alpha,\bm \beta_1)\leftrightarrow(\bm \alpha,\bm \beta_2)

  1. (\bm \beta_1,\bm \beta_2)\neq 0。则

\tau_{\bm \beta_1-\bm \beta_2,\frac{1}{(\bm \beta_1,\bm \beta_2)}}\bm \beta_1=\bm \beta_2,\tau_{\bm \beta_1-\bm \beta_2,\frac{1}{(\bm \beta_1,\bm \beta_2)}}\bm \alpha=\bm \alpha

所以(\bm \alpha,\bm \beta_1)\leftrightarrow(\bm \alpha,\bm \beta_2)

  1. (\bm \beta_1,\bm \beta_2)=0。则(\bm \alpha,\bm \alpha+\bm \beta_1)也是双曲对,同时

(\bm \beta_1,\bm \alpha+\bm \beta_1)=-1,(\bm \beta_2,\bm \alpha+\bm \beta_1)=-1

根据情况1,

(\bm \alpha,\bm \beta_1)\leftrightarrow (\bm \alpha,\bm \alpha+\bm \beta_1)\leftrightarrow(\bm \alpha,\bm \beta_2)

(辛变换的分解) 对于非退化辛空间V,任一辛变换是辛平延之积。

V的非退化性,可知\dim V是偶数,对d=\frac{1}{2}\dim V归纳

d=1时,由引理3立得。

d\ge 2时,取出V中一双曲对(\bm \alpha,\bm \beta),根据引理3,存在辛平延之积\tau,使得\tau(\bm \alpha,\bm \beta)=(\mathscr A\bm \alpha,\mathscr A\bm \beta),即\tau^{-1}\mathscr A(\bm \alpha,\bm \beta)=(\bm \alpha,\bm \beta)

由引理1,\tau^{-1}\mathscr A[H(\bm \alpha,\bm \beta)^\perp]=H(\bm \alpha,\bm \beta)^\perp

由归纳假设,\tau^{-1}\mathscr A|_{H(\bm \alpha,\bm \beta)^{\perp}}可以写成L(\bm \alpha,\bm \beta)^\perp上的辛平延之积,之后的证明类似正交变换。

辛变换行列式为1

因为辛平延行列式为1

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2020-07-06