对偶空间

线性映射与同态空间

线性映射又称同态。用Hom_{\mathbf F}(U,V)表示U到V同态的集合。

当V是一维时，称之为线性函数。

容易看出Hom(U,V)是一个线性空间。

同态空间与矩阵空间的同构：\sigma:U\to V为线性映射，取定U的一组基\bm \varepsilon_1,\bm \varepsilon_2,\cdots,\bm \varepsilon_{,n}和V的一组基\bm \eta_1,\bm \eta_2,\cdots,\bm \eta_{,m}，那么存在关系：

\sigma(\bm \varepsilon_1,\bm \varepsilon_2,\cdots,\bm \varepsilon_{,n})=(\bm \eta_1,\bm \eta_2,\cdots,\bm \eta_{,n})\bm A

即Hom_{\bf F}(U,V)\cong M_{m\times n}(\bf F)。

对偶空间

V是\bf F上一n维线性空间，称V上所有线性函数构成的空间V^{*}=Hom_{\bf F}(V,\bf F)为V的 对偶空间。

线性函数可以由其在一组基上的取值确定：

\bm \alpha=x_1\bm \varepsilon_1+\cdots+x_n\bm \varepsilon_n

那么对任意f\in V^*，

f(\bm \alpha)=x_1f(\bm \varepsilon_1)+\cdots+x_nf(\bm \varepsilon_n)

对偶空间元素的向量表示

设\bm \alpha_1,\cdots,\bm \alpha_n是V的一组基，则映射

\begin{aligned}
\sigma: V^*&\to \mathbf {F}^n\\
f&\mapsto (f(\bm \alpha_1),\cdots,f(\bm \alpha_n))
\end{aligned}是线性同构。

\sigma既是单射又是满射，只需验证其线性性。

对偶基

设\mathbf F^n的标准基为\bm e_1,\cdots,\bm e_n，在上述同构映射\sigma下考虑它们的原像f_1,\cdots,f_n，f_i满足

f_i(\bm e_j)=\begin{cases}
1 &,i=j\\
0 &,i\neq j
\end{cases}

称f_1,\cdots,f_n为\bm e_1,\cdots,\bm e_n的 对偶基。

设\bm \alpha_1,\cdots,\bm \alpha_n是V的一组基，f_1,\cdots,f_n是其对偶基，那么

对任意的\bm \alpha\in V，

\bm \alpha=\sum_{i=1}^n f_i(\bm \alpha)\bm \alpha_i

对任意的f\in V^*，

f=\sum_{i=1}^n f(\bm \alpha_i)f_i

对偶基之间的过渡矩阵

设\bm \alpha_1,\cdots,\bm \alpha_n和\bm \beta_1,\cdots,\bm \beta_n是V的两组基，f_1,\cdots,f_n和g_1,\cdots,g_n分别是它们的对偶基，若

\begin{gathered}
(\bm \beta_1,\cdots,\bm \beta_n)=(\bm \alpha_1,\cdots,\bm \alpha_n)\bm A\\
(g_1,\cdots,g_n)=(f_1,\cdots,f_n)\bm B
\end{gathered}

则有

\bm B=(\bm A^{-1})^T

证明考虑

\begin{aligned}
\begin{pmatrix}g_1\\ \vdots\\g_n\end{pmatrix}(\bm \beta_1,\cdots,\bm \beta_n)&=\bm E\\
\bm B^T\begin{pmatrix}f_1\\ \vdots\\f_n\end{pmatrix}(\bm \alpha_1,\cdots,\bm \alpha_n)\bm A&=\bm E\\
\bm B^T\bm A&=\bm E
\end{aligned}

对偶的对偶

设V^*是V的对偶空间，那么\forall \bm \alpha\in V，定义函数

\begin{aligned}
\bm \alpha^{** }: V ^ * &\to \mathbf F\\
f&\mapsto f(\bm \alpha)
\end{aligned}

那么

\begin{aligned}
\sigma: V&\to V^{** }\\
\bm \alpha &\mapsto \bm \alpha^{** }
\end{aligned}

是一个同构映射。

证明：容易验证\sigma保持加法和数乘。下证\sigma是单射，

任取\bm \alpha\in \ker \sigma，即\bm \alpha^{** }是零函数，即\forall f\in V^ *，f(\bm \alpha)=\bm 0。

设\bm \alpha_1,\cdots,\bm \alpha_n是V的一组基，f_1,\cdots,f_n是其对偶基，那么

\bm \alpha=\sum_{i=1}^nf_i(\bm \alpha)\bm \alpha_i=\bm 0

即\ker \sigma={\bm 0}，从而\sigma是单射，又\dim V=\dim V^{** }，得\sigma是同构映射。

双线性函数

V是\bf F上一线性空间，若二元函数f:V \times V\to \mathbf F，满足

1. $f(\bm \alpha,k_1\bm \beta_1+k_2\bm \beta_2)=k_1f(\bm \alpha,\bm \beta_1)+k_2f(\bm \alpha,\bm \beta_2)$
2. $f(k_1\bm \alpha_1+k_2\bm \alpha_2,\bm \beta)=k_1f(\bm \alpha_1,\bm \beta)+k_2f(\bm \alpha_2,\bm \beta)$

则称f是一双线性函数。

笛卡尔积的定义

U\times V={(\bm u_i,\bm v_i):\bm u_i\in U,\bm v_i\in V}

注意我们并未在U\times V上定义加法和数乘，所以不说U\times V是否为线性空间。

双线性函数的度量矩阵

\bm \varepsilon_1,\bm \varepsilon_2,\cdots,\bm \varepsilon_{,n}是一组基，A_{ij}=f(\bm \varepsilon_i,\bm \varepsilon_j)的\bm A称作f在这组基下的度量矩阵。

取定基后，V/\bf F上的双线性函数与n阶矩阵一一对应。

同一双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的。

双线性函数的退化性

设f是V上一双线性函数，称Rad_L(f)={\bm \alpha\in V:\forall \bm \beta \in V,f(\bm \alpha,\bm \beta)=0}，为f的 左根基。

当Rad_L(f)={0}时，称f是非退化的。

类似地可以定义右根基，不难证明Rad_L(f)={0}\iff Rad_R(f)={0}。

线性函数的Riesz表示

给定V上一双线性函数f，定义映射

\begin{aligned}
l_f: V &\to V^*\\
\bm \alpha &\mapsto f(\bm \alpha,_)
\end{aligned}

容易验证l_f是一线性映射，\ker l_f=Rad_L(f)。

l_f是同构，当且仅当f是非退化的。

由于\dim V=\dim V^*，l_f是同构\iff \ker l_f=\bm 0\iff Rad_L(f)=0 \iff f非退化。

给定非退化的双线性函数f，则每一个V上线性函数u，都存在唯一的 \bm \alpha\in V，使得u可以表示成f(\bm \alpha,_)的形式。

这种表示形式称为Riesz表示。

如果f是非退化的，Riesz表示同样可以应用在V的子空间U（不论U是否退化）中，因为\forall g\in U^*，都可以扩展成V上的线性函数g’再用Riesz表示（但这样的表示就不一定唯一了）。

对称与反对称

f(\bm \alpha,\bm \beta)=f(\bm \alpha,\bm \beta)，称为对称双线性函数。

f(\bm \alpha,\bm \beta)=-f(\bm \alpha,\bm \beta)，称为反对称双线性函数。

对称双线性函数的度量矩阵是对称的，反对称双线性函数的度量矩阵是反对称的。

f(\bm \alpha,\bm \beta)=0时称\bm \alpha,\bm \beta正交，记作\bm \alpha \perp\bm \beta。

对称矩阵

根据二次型相关知识，对任一对称双线性函数f都存在一组基，使得f的度量矩阵是对角阵。

设f是V上的对称双线性函数，则称函数

Q_f:\bm \alpha \to f(\bm \alpha,\bm \alpha)

为与f对应的二次齐次函数（或二次型）。

反对称矩阵

设f是V上的反对称双线性函数，则存在V的一组基\bm \varepsilon_1,\bm \varepsilon_{-1},\bm \varepsilon_2,\bm \varepsilon_{-2},\cdots,\bm \varepsilon_{r},\bm \varepsilon_{-r},\bm \eta_1,\cdots,\bm \eta_s，使得

\begin{cases}
f(\bm \varepsilon_i,\bm \varepsilon_{-i})=1 \\
f(\bm \varepsilon_i,\bm \varepsilon_j)=0 &,i+j\neq 0\\
f(\bm \alpha,\bm \eta_k)=0 &,\forall \bm \alpha \in V \end{cases}

证法1：

即证任一反对称矩阵\bm A合同于

\bm S=\begin{pmatrix}
0&1 &&&&\\
-1&0 &&&&\\
&& \ddots&&&&\\
&&& 0&1 &&\\
&&& -1&0 &&\\
&&&&& 0 &\\
&&&&&& \ddots\\
&&&&&&& 0
\end{pmatrix}

对\bm A的阶数n用数学归纳法。

n=1时，有\bm A=\bm O；

n=2时，若\bm A\neq \bm O，则存在\bm \alpha,\bm \beta\in V,f(\bm \alpha,\bm \beta)=c\neq 0，且\bm \alpha,\bm \beta线性无关，取\bm \alpha,\frac{1}{c}\bm \beta作为一组基即可。

若n< k时命题成立，考虑n=k的情况。假设\bm A\neq \bm O，存在i,j使得a_{ij}\neq 0，且必有i\neq j。进行对称初等变换

\bm P(1,i)^T \bm A \bm P(1,i)

那么a_{ij}被换到了(1,j)位置，再进行对称初等变换

\bm P(2,j)^T \bm A \bm P(2,j)

继续被换到了(1,2)位置，再进行对称初等变换

\bm P(1(a_{12}^{-1}))^T \bm A\bm P(1(a_{12}^{-1}))

此时矩阵形如

\begin{pmatrix}
0 &1&\cdots&a_{1k}\\
-1&0&\cdots&a_{2k}\\
\vdots&\vdots && \vdots\\
-a_{1k}&-a_{2k}&\cdots&0
\end{pmatrix}

由于(0,1),(-1,0)线性无关，可以继续通过对称初等变换使得第1,2行，第1,2列其余元素变为0，然后利用归纳假设得证。

证法2：

若f(\bm \alpha,\bm \beta)非零，则可以找到\bm \varepsilon_1,\bm \varepsilon_{-1}，使得f(\bm \varepsilon_1,\bm \varepsilon_{-1})，且必有\bm \varepsilon_1,\bm \varepsilon_{-1}线性无关。将其扩充称为V的一组基\bm \varepsilon_1,\bm \varepsilon_{-1},\bm \xi_3,\cdots,\bm \xi_n

正交化，令\bm \beta_i=\bm \xi_i-f(\bm \xi_i,\bm \varepsilon_{-1})\bm \varepsilon_1+f(\bm \xi_i,\bm \varepsilon_1)\bm \varepsilon_{-1}

那么f(\bm \beta_i,\bm \varepsilon_1)=f(\bm \beta_i,\bm \varepsilon_{-1})=0，V=L(\bm \varepsilon_1,\bm \varepsilon_{-1})\dotplus L(\bm \beta_3,\cdots,\bm \beta_n)

对L(\bm \beta_3,\cdots,\bm \beta_n)归纳即可。

度量空间

V是\bf F上的线性空间，而f(\bm \alpha,\bm \beta)是V上对称或反对称的双线性函数，则称f(\bm \alpha,\bm \beta)为V的内积。具有内积的线性空间称为度量空间。

其中，对称的称为正交空间，反对称的称为辛空间。

例：Minkowski 空间

狭义相对论中，用(x_1,x_2,x_3,ct)刻画物体运动：表示在t时刻处于位置(x_1,x_2,x_3)，c表示光速。

于是定义了双线性函数f:\R^4\times \R^4\to \R，对任意

\begin{gathered}
\bm \alpha=(x_1,x_2,x_3,x_4),\bm \beta=(y_1,y_2,y_3,y_4),\\
f(\bm \alpha,\bm \beta)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3-x_4y_4.
\end{gathered}

f是对称的。

\R^4上保持内积不变的变换\sigma，(\sigma\bm \alpha,\sigma\bm \beta)=(\bm \alpha,\bm \beta)
称为广义洛伦兹变换。

由于物体运动速度不能超过光速，可以证明f(\bm \alpha,\bm \alpha)<0。

度量空间与欧氏空间的差异

度量空间与欧氏空间最大不同是，可能存在\bm \alpha\neq 0，而(\bm \alpha,\bm \alpha)=0。

度量矩阵非退化时，称这个度量空间是非退化的。

U是度量空间V的子空间，内积在它上面的限制f|_{U\times U}也是一个对称/反对称双线性函数，从而(U,f| _{U\times U})也是一度量空间。

注意，V的非退化性和U的非退化性并无关联。

度量空间的正交性

关于正交的定义，
1. (\bm \alpha,\bm \beta)=0，则称\bm \alpha,\bm \beta正交，记作\bm \alpha\perp\bm \beta。
2. 从而可以定义\bm \alpha \perp U，U_1,\perp,U_2。
3. U是V的子空间，U^{\perp}={\bm \alpha\in V:\bm \alpha\perp U}也是V的一个子空间，称为正交补。
4. 若U_1\perp U_2，且U_1\cap U_2={\bm 0}，则U_1+U_2称为正交直和。

Rad_L(W)=Rad_R(W)=W^{\perp} \cap W

由定义和\bm \alpha\perp\bm \beta=\bm \beta\perp\bm \alpha可得。

于是在度量空间中不在区分左右根基，记W^{\perp}\cap W为Rad(W)。

子空间W非退化的充分必要条件是Rad W={0}。

显然。

迷向

迷向的定义，

1. 设\bm \alpha\in V,\bm \alpha\neq 0，若\bm \alpha\perp\bm \alpha，则称\bm \alpha是迷向向量。
2. 若W\le V，Rad W=W，则称W是V的一个全迷向子空间。

V是非退化正交空间，V中必存在非零非迷向向量。

由V非退化，则必存在\bm \alpha,\bm \beta\in V使(\bm \alpha,\bm \beta)\neq 0。若\bm \alpha,\bm \beta均为迷向向量，则有(\bm \alpha+\bm \beta,\bm \alpha+\bm \beta)=2(\bm \alpha,\bm \beta)\neq 0

故\bm \alpha+\bm \beta是迷向向量。

关于正交性的几个定理

f是V上的双线性函数，\forall \bm \alpha,\bm \beta\in V,\bm \alpha\perp\bm \beta \iff \bm \beta \perp \bm \alpha当且仅当f是对称或反对称的。

（这个定理可以从矩阵入手证明，但是我不会）

思路：右推左是显然的。左推右，考虑证明f要么满足对称，要么V中所有向量均是迷向向量（这很容易推出反对称）。

我们把f(\bm x,\bm y)=f(\bm y,\bm x)简记为x \Join y。

若\forall \bm x\in V都有\bm x \Join V，那么f就是对称的，证毕。

若不然，任取一\bm x\not \Join V，我们证明引理

对任意的\bm x\not \Join V，若\bm x\Join \bm y，则必有\bm x\perp \bm y。（特别地，取\bm y=\bm x，可得\bm x是一迷向向量）

假设由于\bm x\not \Join V，存在\bm z\in V，\bm x\not \Join \bm z，要证\bm x\perp \bm y，只需证f(\bm x,\bm y)(f(\bm x,\bm z)-f(\bm z,\bm x))=0

有
\begin{aligned}
f(\bm x,\bm y)(f(\bm x,\bm z)-f(\bm z,\bm x)) &=f(\bm x,\bm y)f(\bm x,\bm z)-f(\bm x,\bm y)f(\bm z,\bm x)\\
&=f(\bm y,\bm x)f(\bm x,\bm z)-f(\bm x,\bm y)f(\bm z,\bm x)\\
&=f(\bm x,f(\bm x,\bm y)\bm z-f(\bm z,\bm x)\bm y)
\end{aligned}

如果将两个自变量交换，可以看到

f(f(\bm x,\bm y)\bm z-f(\bm z,\bm x)\bm y,\bm x)=f(\bm y,\bm x)f(\bm z,\bm x)-f(\bm y,\bm x)f(\bm z,\bm x)=0

根据题设\bm \alpha\perp\bm \beta\iff\bm \beta\perp\bm \alpha，从而推出先前的式子为0，引理证毕。

继续考虑原定理的证明，由于f不是对称的，我们要证“\forall \bm w\in V，\bm w是迷向向量”，根据引理，\bm w\not \Join V的情况已经证完，考虑\bm w\Join V的情况。

由f不是对称的，必然存在\bm u,\bm v\in V，\bm u\not \Join \bm v，同时有\bm u \not \Join V,\bm v\not \Join V，根据引理，\bm u,\bm v都是迷向的。又\bm w\Join V，根据引理，f(\bm w,\bm u)=f(\bm w,\bm v)=0，但是

f(\bm w+\bm u,\bm v)=f(\bm u,\bm v)\neq f(\bm v,\bm u)=f(\bm v,\bm u+\bm w)

即\bm w+\bm u\not \Join V，根据引理可得\bm w+\bm u是迷向的，即\bm w也是迷向的，定理证毕。

V是度量空间，U是V的子空间，当U或V非退化时，\dim U^{\perp}=\dim V-\dim U

定义映射
\begin{aligned}
\tau: V&\to U^*\\
\bm \alpha&\mapsto(\bm \alpha,_)
\end{aligned}

显然\tau是一线性映射，且\ker \tau=U^{\perp}，下面只需证\Im\tau=U^*：

1. 若U非退化，\ker \tau|_U={\bm 0}，即\tau|_U是满射，从而\tau是满射。

2. 若V非退化，则对于每一个线性函数l\in V^*，必有一个Riesz表示l=(\bm \alpha,_),\bm \alpha \in V.又\forall s\in U^ *，可以扩展成一个s’\in V^ *，使得s’|_U=s。从而\tau是满射。

综上\dim V=\dim \ker \tau+\dim \Im \tau=\dim U=\dim V

V是非退化度量空间，U是V的子空间，则(U^{\perp})^{\perp}=U

显然有U\sube (U^{\perp})^\perp，而由上一定理有\dim U=\dim (U^\perp)^\perp，从而U=(U^\perp)^\perp。

V是非退化度量空间，且U是全迷向的，则\dim U\le \frac{1}{2}\dim V

由于U全迷向，所以U\sube U^{\perp}，从而\dim V=\dim U^{\perp}+\dim U\ge 2\dim U。

V是有限维度量空间，U是一子空间，则V=U\dotplus U^{\perp}的充要条件为U是一个非退化子空间。

必要性显然，即U和U^{\perp}构成直和必然有Rad U={\bm 0}。

充分性，由Rad U={\bm 0}，则U\dotplus U^{\perp}是正交直和，在根据\dim V=\dim U+\dim U^{\perp}，故有V=U\dotplus U^{\perp}。

设V是有限维度量空间，则存在分解V=Rad V\dotplus S

其中S必是非退化的，Rad V是全迷向的。

任取S是Rad V的补空间，由于Rad V是全迷向的，所以有正交直和V=Rad V\dotplus S

又Rad S\perp Rad V，所以Rad S\sube Rad V\cap S={\bm 0}，故S非退化。

保度量映射与等距

设(U,f),(V,g)是具有双线性函数的线性空间，\tau\in Hom(U,V)是一个单射，若\forall \bm \alpha,\bm \beta\in U，有g(\sigma(\bm \alpha),\sigma(\bm \beta))=f(\bm \alpha,\bm \beta)

则称\sigma是一个保度量映射。

若保度量映射又是线性空间之间的同构，称为等距。U与V等距记作U\approx V。

非退化正交空间/辛空间到自身的等距称为正交变换/辛变换。

若非退化正交空间/辛空间在一组基下的度量矩阵为\bm M，线性变换\tau在这组基下的矩阵是\bm T，则\tau是正交变换/辛变换等价于\bm T^T\bm M\bm T=\bm M。

保度量性。

若V是有限维非退化正交空间/辛空间，若\tau\in Hom(V,V)满足(\tau \bm \alpha,\tau \bm \beta)=(\bm \alpha,\bm \beta)

则\tau是正交变换/辛变换。

只需证\tau是单射。

双曲相关

\bm \alpha,\bm \beta\in V，且满足(\bm \alpha,\bm \alpha)=(\bm \beta,\bm \beta)=0,(\bm \alpha,\bm \beta)=1

则称\bm \alpha,\bm \beta是一个双曲对，而H=L(\bm \alpha,\bm \beta)称为双曲平面。

若V的一个子空间U可以写成若干个双曲平面的正交直和

U=H_1\dotplus \cdots \dotplus H_s

则称U是V的一个双曲子空间，进一步设\bm \alpha_i,\bm \beta_i是H_i的双曲对，则称\bm \alpha_i,\bm \beta_i,\cdots,\bm \alpha_s,\bm \beta_s是U的双曲基。

双曲扩展与非退化扩展

V是非退化度量空间，U是它的一个子空间，若U\le S\le V，则称S是U的一个扩张，如果S是U的一个极小非退化扩张，则称S是U的一个非退化完备化。

我们采取构造的思路来得到一个非退化完备化。

V是非退化度量空间，若\bm \alpha\neq 0是迷向向量，L(\bm \alpha)\dotplus U_1是正交直和，则存在双曲平面H=L(\bm \alpha,\bm \beta)使得有正交直和H\dotplus U_1

特别地，每个迷向向量都含于某个双曲平面中。

由于\bm \alpha\in U_1,U_1=(U_1^{\perp})^\perp，可知\bm \alpha\notin (U_1^\perp)^\perp，故存在\bm \gamma\in U_1^\perp，使得(\bm \alpha,\bm \gamma)\neq 0，又因\bm \alpha是迷向向量，得\bm \alpha,\bm \gamma线性无关。下面考虑两种情况：

1. 若V是辛空间，取\bm \beta=\frac{1}{(\bm \alpha,\bm \gamma)}\bm \gamma，就能满足(\bm \alpha,\bm \beta)=1,(\bm \beta,\bm \beta)=0。

2. 若V是正交空间，\bm \beta=r\bm \alpha+s\bm \gamma，如果要使(\bm \alpha,\bm \beta)=1,(\bm \beta,\bm \beta)=0，等价于
   \begin{cases}
   s(\bm \alpha,\bm \gamma)=1\\
   2rs(\bm \alpha,\bm \gamma)+s^2(\bm \gamma,\bm \gamma)=0
   \end{cases}
   它有唯一的一组解
   \begin{cases}
   s=(\bm \alpha,\bm \gamma)^{-1}\\
   r=-\frac{(\bm \gamma,\bm \gamma)}{2(\bm \alpha,\bm \gamma)}
   \end{cases}

因为\bm \alpha,\bm \gamma\in U^{\perp}，故H=L(\bm \alpha,\bm \beta)\perp U_1。且U_1\cap H\le H^\perp \cap H=Rad H={\bm 0}，故H\dotplus U_1。

设U\le V，U=Rad U\dotplus W，\bm \alpha_1,\cdots,\bm \alpha_k是RadU的一组基，则存在双曲子空间H=H_1\dotplus\cdots \dotplus H_k

且\bm \alpha_1,\bm \beta_1,\cdots,\bm \alpha_k,\bm \beta_k为H的双曲基，满足\bar U=H\dotplus W是U的一个非退化扩张（称为U的双曲扩张）,且\dim \bar U=\dim U+\dim Rad U，证毕。

对k用归纳法，k=1显然正确，考虑k\ge 2的情形。

由于

U=Rad U\dotplus W=L(\bm \alpha_1)\dotplus[L(\bm \alpha_2,\cdots,\bm \alpha_k)\dotplus W]

由上一定理，存在双曲平面H_1=L(\bm \alpha_1,\bm \beta_1)，有正交直和

U_1=H_1\dotplus[L(\bm \alpha_2,\cdots,\bm \alpha_k)\dotplus W]

易见

RadU_1=L(\bm \alpha_2,\cdots,\bm \alpha_k)

故由归纳假设有非退化扩张

\bar U=H_2\dotplus\cdots\dotplus H_k\dotplus[H_1\dotplus W]

(双曲扩展定理) 设U是非退化度量空间V的子空间，U=Rad \dotplus W，下列三条等价：
1. （双曲）T是U的双曲扩张，即T=H\dotplus W；
2. （极小）T是U的极小非退化扩张；
3. （维数）T是U的非退化扩张，且\dim T=\dim U+\dim Rad U

1推2，若T不是极小的，那存在非退化扩张S，有U\le S< T。根据构造方法，可以在S中构造一个双曲扩张T’，而T’\le S< T与\dim T’=\dim T矛盾。

2推3，由于T非退化，则根据构造方法，可以在T中构造U的双曲扩张T’，又T的极小性知T=T’，从而\dim T=\dim U+\dim Rad U。

3推1，根据构造方法，可以在T中构造U的双曲扩张T’，从而\dim T’=\dim U+\dim Rad U，则必有T=T’。

双曲扩张是极小的（即非退化完备化），且下述定理说明在等距意义下是唯一的。

给定子空间U的两个双曲扩张T和T’，则必有T\approx T’。

考虑\forall \bm \alpha\in W，令\bm \alpha在直和分解U=RadU\dotplus W’

中分解为\bm \alpha=\bm \alpha_1+\bm \alpha_2，则\tau:\bm \alpha\to \bm \alpha_2是保持内积的同构映射，所以W\approx W’。

又设T=H\dotplus W，T’=H’\dotplus W’，通过双曲基的对应不难得到H\approx H’，从而T\approx T’。

（非退化扩展定理）设V,V’是两个非退化度量空间。U\le V，且\tau:U\to V’是一个保度量映射，\bar U是U在V中的双曲扩张，则\tau可以扩展为\bar U到V’的保度量映射。

设U=Rad U\dotplus W,Rad U=L(\bm \alpha_1,\cdots,\bm \alpha_k)，由于\tau保度量，那么有

\begin{gathered}
Rad(\tau U)=L(\tau \bm \alpha_1,\cdots,\tau \bm \alpha_k)\\
\tau U=Rad(\tau U)\dotplus \tau W
\end{gathered}

设

\bar U=(L(\bm \alpha_1,\bm \beta_1)\dotplus \cdots \dotplus L(\bm \alpha_k,\bm \beta_k))\dotplus W

那么\tau U在V’中的非退化完备化

\overline{\tau U}=(L(\tau \bm \alpha_1,\bm \gamma_1)\dotplus \cdots \dotplus L(\tau \bm \alpha_k,\bm \gamma_k))\dotplus \tau W

定义\bar \tau:\bar U\to V’如下：

\begin{aligned}
\bar \tau(\bm \alpha_i)&=\tau(\bm \alpha_i)\\
\bar \tau(\bm \beta_i)&=\bm \gamma_i\\
\bar \tau(w)&=\tau(w),w\in W
\end{aligned}

\bar \tau即为所求。

正交变换及其分解

这部分研究非退化正交空间的正交变换。

V是正交空间，0\neq \bm \alpha\in V是一个非迷向向量。映射

\begin{aligned}
H_\bm \alpha:V&\to V\\
\bm \beta&\mapsto\bm \beta-2\frac{(\bm \beta,\bm \alpha)}{(\bm \alpha,\bm \alpha)}\bm \alpha
\end{aligned}

称为关于向量\bm \alpha的反射。

显然H_\bm \alpha把\bm \alpha变成了-\bm \alpha，而保持L(\bm \alpha)^{\perp}中的元素不变。

不难证明反射是 ，且是第二类的。

下面几个定理说明正交变换可以分解为反射的乘积。

（引理1）设\tau:V\to W是等距，且V=S\dotplus S^{\perp},W=T\dotplus T^\perp

若\tau S=T，则\tau(S^\perp)=T^\perp

\forall \bm \beta\in S^\perp，有\tau \bm \beta\perp T。\forall \bm \gamma\in T，\exist \bm \alpha\in S使得\tau \bm \alpha=\bm \gamma。由此

(\bm \gamma,\tau \bm \beta)=(\tau \bm \alpha,\tau \bm \beta)=(\bm \alpha,\bm \beta)=0

所以\tau \bm \beta\perp T，即\tau(S^\perp)\sube T^\perp。

反过来同样可以证明\tau^{-1}(T^\perp)\sube S^\perp，综上\tau(S^\perp)=T^\perp。

（引理2）设V是正交空间，若(\bm \alpha,\bm \alpha)=(\bm \beta,\bm \beta)\neq 0，则存在反射\sigma，使得\sigma\bm \alpha=\bm \beta\text{ or }\tau \bm \alpha=-\bm \beta

由假设可知(\bm \alpha-\bm \beta,\bm \alpha+\bm \beta)=0，且显然(\bm \alpha+\bm \beta,\bm \alpha+\bm \beta)\neq 0与(\bm \alpha-\bm \beta,\bm \alpha-\bm \beta)\neq 0必有一个成立。

当(\bm \alpha-\bm \beta,\bm \alpha-\bm \beta)\neq 0时，H_{\bm \alpha-\bm \beta}(\bm \alpha)=\bm \beta。

当(\bm \alpha+\bm \beta,\bm \alpha+\bm \beta)\neq 0时，H_{\bm \alpha+\bm \beta}(\bm \alpha)=\bm \beta。

设\mathscr A是非退化正交空间V上的正交变换，则\mathscr A可以分解为反射的乘积。

对\dim V归纳。

当d=1时，\mathscr A\bm \alpha=k\bm \alpha,k=\pm 1。

当d\ge 2时，由V的非退化性，必存在非零非迷向向量，不妨设其为\bm \alpha，因为(\mathscr A\bm \alpha,\mathscr A\bm \alpha)=(\bm \alpha,\bm \alpha)\neq 0

由引理2，存在反射H_\bm \beta使得H_\bm \beta\mathscr A\bm \alpha=k\bm \alpha,k=\pm 1

故L(\bm \alpha)是H_\bm \beta \mathscr A的不变子空间，又因V=L(\bm \alpha)\dotplus L(\bm \alpha)^\perp。根据引理1，L(\bm \alpha)^\perp也是H_\bm \beta\mathscr A的不变子空间。又因V非退化，得L(\bm \alpha)^\perp也非退化。

由于\dim L(\bm \alpha)^\perp< d，由归纳假设

H_\bm \beta\mathscr A |_ { L(\bm \alpha)^\perp}=H’_{\bm \gamma_1}\cdots H’_{\bm \gamma_t}

其中H’_ {\bm \gamma_i}都是L(\bm \alpha)^\perp上的反射。注意到，H’_ {\bm \gamma_i}=H_ {\bm \gamma_i}|_ {L(\bm \alpha)^\perp}, \bm 1_{L(\bm \alpha)}=H_{\bm \gamma_i}|_ {L(\bm \alpha)}，那么

当k=1时，\mathscr A=H_\bm \beta H_{\bm \gamma_1} \cdots H_{\bm \gamma_t}。

当k=-1时，\mathscr A=H_\bm \beta H_\bm \alpha H_{\bm \gamma_1}\cdots H_{\bm \gamma_t}。

辛变换及分解

辛变换是指辛空间到自身的等距映射。

辛平延

考虑T=\begin{pmatrix}1&-c\\0&1\end{pmatrix}这样的最简单的辛变换，满足

\tau \bm \alpha=\bm \alpha,\tau \bm \beta=\bm \beta-c\bm \alpha

设v=a\bm \alpha+b\bm \beta，合在一起就是\tau v=v+c(v,\bm \alpha)\bm \alpha

（辛平延的定义）若V是一个辛空间，0\neq \bm \alpha\in V，c\in \bf F，则映射

\begin{aligned}
\tau_{\bm \alpha,c}:V&\to V\\
v&\mapsto v+c(v,\bm \alpha)\bm \alpha
\end{aligned}

称为辛平延。

辛平延是辛变换。

当0\neq \bm \alpha\in Rad V时，V=L(\bm \alpha)^\perp，从而\tau_{\bm \alpha,c}=\bm 1_V，显然是辛变换。

当0\neq \bm \alpha，存在\bm \beta使得\bm \alpha,\bm \beta是双曲对。由于\dim L(\bm \alpha,\bm \beta)^\perp=n-2，且\bm \alpha \in L(\bm \alpha)^\perp，可以推出，
V=L(\bm \beta)\oplus L(\bm \alpha)^\perp

那么对任意的\bm \beta_1+\bm \gamma_1,\bm \beta_2+\bm \gamma_2\in V（其中\bm \beta_1,\bm \beta_2\in L(\bm \beta),\bm \gamma_1,\bm \gamma_2\in L(\bm \alpha)^\perp）不难验证

(\tau_{\bm \alpha,c}(\bm \beta_1+\bm \gamma_1),\tau_{\bm \alpha,c}(\bm \beta_2+\bm \gamma_2))=(\bm \beta_1+\bm \gamma_1,\bm \beta_2+\bm \gamma_2)

得证。

辛平延的性质

可以看出，\tau_{\bm \alpha,c}把\bm \beta变成了\bm \beta-c\bm \alpha，保持了L(\bm \alpha)^\perp中的元素不变。

简单验证可得辛平延行列式为1。

辛平延几个显然的性质

1.\tau_ {\bm \alpha,c}=1 \iff c=0

2.\tau_ {\bm \alpha,c}|_ {{L(\bm \alpha)}^\perp}=1，且当c\neq 0时，
\bm \beta\in L(\bm \alpha)^\perp\iff \tau_{\bm \alpha,c}(\bm \beta)=\bm \beta

3.\tau_{\bm \alpha,a}\tau{\bm \alpha,b}=\tau_{\bm \alpha,a+b}，\tau_{\bm \alpha,a}^{-1}=\tau_{\bm \alpha,-a}

4对任意辛变换\sigma，\sigma\tau_{\bm \alpha,a}\sigma^{-1}=\tau_{\sigma\bm \alpha,a}

5.0\neq b\in F，\tau_{b\bm \alpha,a}=\tau_{\bm \alpha,ab^2}

辛变换的分解

（引理1）设\tau:V\to W是等距，
V=S\dotplus S^\perp,W=T\dotplus T^\perp

如果\tau S=T，则\tau(S^\perp)=T^\perp。

证明和正交变换类似。

（引理2） \forall \bm \alpha,\bm \beta\in V，\bm \alpha\neq 0,\bm \beta\neq 0，存在辛平延的积把\bm \alpha变为\bm \beta。

\bm \alpha能变成\bm \beta记作\bm \alpha\leftrightarrow \bm \beta

1. 若(\bm \alpha,\bm \beta)\neq 0，则
   \tau_{\bm \alpha-\bm \beta,\frac{1}{(\bm \alpha,\bm \beta)}}=\bm \beta
2. 若(\bm \alpha,\bm \beta)=0，且\bm \alpha,\bm \beta线性无关。则L(\bm \alpha,\bm \beta)是全迷向的，从而含于双曲子空间H(\bm \alpha,\bm w_1)\dotplus H(\bm \beta,\bm w_2)中。设w=w_1+w_2，满足(\bm \alpha,\bm w)=(\bm \beta,\bm w)=1，由情况1知
   a\leftrightarrow w\leftrightarrow b
3. 若(\bm \alpha,\bm \beta)=0，且\bm \alpha,\bm \beta线性相关。则\bm \alpha,\bm \beta含于双曲平面H(\bm \alpha,\bm w)中。(\bm \alpha,\bm w)\neq 0,(\bm \beta,\bm w)\neq 0。由情况1知
   a\leftrightarrow w\leftrightarrow b

（引理3）(\bm \alpha_1,\bm \beta_1),(\bm \alpha_2,\bm \beta_2)是两个双曲对，则存在辛平延的积把(\bm \alpha_1,\bm \beta_1)变为(\bm \alpha_2,\bm \beta_2).

由引理2，我们可以先一侧变为相同，同时辛平延是辛变换，保持双曲性，从而只需证(\bm \alpha,\bm \beta_1)\leftrightarrow(\bm \alpha,\bm \beta_2)。

1. 若(\bm \beta_1,\bm \beta_2)\neq 0。则

\tau_{\bm \beta_1-\bm \beta_2,\frac{1}{(\bm \beta_1,\bm \beta_2)}}\bm \beta_1=\bm \beta_2,\tau_{\bm \beta_1-\bm \beta_2,\frac{1}{(\bm \beta_1,\bm \beta_2)}}\bm \alpha=\bm \alpha

所以(\bm \alpha,\bm \beta_1)\leftrightarrow(\bm \alpha,\bm \beta_2)。

2. 若(\bm \beta_1,\bm \beta_2)=0。则(\bm \alpha,\bm \alpha+\bm \beta_1)也是双曲对，同时

(\bm \beta_1,\bm \alpha+\bm \beta_1)=-1,(\bm \beta_2,\bm \alpha+\bm \beta_1)=-1

根据情况1，

(\bm \alpha,\bm \beta_1)\leftrightarrow (\bm \alpha,\bm \alpha+\bm \beta_1)\leftrightarrow(\bm \alpha,\bm \beta_2)

(辛变换的分解) 对于非退化辛空间V，任一辛变换是辛平延之积。

由V的非退化性，可知\dim V是偶数，对d=\frac{1}{2}\dim V归纳

d=1时，由引理3立得。

d\ge 2时，取出V中一双曲对(\bm \alpha,\bm \beta)，根据引理3，存在辛平延之积\tau，使得\tau(\bm \alpha,\bm \beta)=(\mathscr A\bm \alpha,\mathscr A\bm \beta)，即\tau^{-1}\mathscr A(\bm \alpha,\bm \beta)=(\bm \alpha,\bm \beta)

由引理1，\tau^{-1}\mathscr A[H(\bm \alpha,\bm \beta)^\perp]=H(\bm \alpha,\bm \beta)^\perp。

由归纳假设，\tau^{-1}\mathscr A|_{H(\bm \alpha,\bm \beta)^{\perp}}可以写成L(\bm \alpha,\bm \beta)^\perp上的辛平延之积，之后的证明类似正交变换。

辛变换行列式为1。

因为辛平延行列式为1。